Characterization of unsteady flow behavior by linear stability analysis

par Samir Beneddine

Thèse de doctorat en Mécanique des fluides

Sous la direction de Denis Sipp.

Soutenue le 03-03-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale Sciences Mécaniques et Energétiques, Matériaux et Géosciences (Cachan, Val-de-Marne) , en partenariat avec Office national d'études et de recherches aérospatiales (France) (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de ONERA - The French Aerospace Lab / Meudon (laboratoire) .

Le président du jury était Benoît Pier.

Le jury était composé de Denis Sipp, Carlo Cossu, Matthew Juniper, François Gallaire.

Les rapporteurs étaient Peter Jordan, Laurette S. Tuckerman.

  • Titre traduit

    Caractérisation de comportement d'écoulement instationnaire par analyse de stabilité linéaire


  • Résumé

    Au cours des dernières décennies, la théorie de la stabilité a été intensivement utilisée pour caractériser le comportement instationnaire d'écoulements. Cela a donné naissance à un grand nombre d'approches, mais malheureusement chacune d'entre elles semble présenter ses propres limitations. De plus, leurs conditions de validité sont encore très mal connues, ce qui soulève la question de la fiabilité de ce genre de méthodes dans un cas général.Cette problématique est traitée dans cette thèse en s'intéressant dans un premier temps aux approches classiques de stabilité, qui étudient l'évolution de petites perturbations autour d'une solution stationnaire -- un champ de base -- des équations de Navier-Stokes. Pour cela, le phénomène du screech -- un bruit tonal que peuvent causer les jets sous-détendus -- est étudié d'un point de vue de la stabilité linéaire. Les résultats obtenus montrent que la dynamique non-linéaire du phénomène est correctement prédite par une analyse linéaire de stabilité du champ de base. Une confrontation avec d'autres analyses similaires montre qu'un tel résultat n'est pas toujours observé. Cependant, lorsque les oscillations auto-entretenues d'un écoulement sont provoquées par un bouclage acoustique, comme c'est le cas entre autres pour le screech, l'écoulement de cavité ou encore les jets impactants, alors les non-linéarités ont une faible influence sur le phénomène de sélection de fréquence. Cela explique la capacité d'une analyse linéaire à caractériser ces écoulements, même dans le régime non-linéaire.Une autre approche, consistant à étudier la stabilité linéaire du champ moyen, a montré de bons résultats dans certaines configurations qui ne peuvent être correctement étudiées par une analyse linéaire du champ de base. Cela est justifié dans cette thèse en mettant en évidence le rôle que joue la résolvante autour du champ moyen dans la dynamique d'un écoulement. Il est montré que lorsque cet opérateur présente une forte séparation de valeurs singulières, ce qui correspond à l'existence d'un mécanisme d'instabilité fort, alors les modes de Fourier de l'écoulement sont proportionnels aux modes de résolvante dominants. Ce résultat fournit des conditions mathématiques et physiques pour l'utilisation et le sens de diverses méthodes d'analyse du champ moyen, telles qu'une analyse d'équations de stabilité parabolisées (Parabolised Stability Equations). De plus, cela permet de mettre en place un modèle de prédiction du spectre fréquentiel en tout point d'un écoulement, à partir d'une ou de quelques mesures ponctuelles et du champ moyen. L'ensemble de ces résultats est illustré et validé sur un cas de marche descendante turbulente. Enfin, cela est exploité dans un cadre expérimental, afin de reconstruire le comportement instationnaire d'un jet rond transitionnel, à partir de la seule connaissance du champ moyen et d'une mesure ponctuelle. L'étude montre que, sous certaines précautions expérimentales, la reconstruction est très précise et robuste.


  • Résumé

    Linear stability theory has been intensively used over the past decades for the characterization of unsteady flow behaviors. While the existing approaches are numerous, none has the ability to address any general flow. Moreover, clear validity conditions for these techniques are often missing, and this raises the question of their general reliability.In this thesis, this question is addressed by first considering the classical stability approach, which focuses on the evolution of small disturbances about a steady solution -- a base flow -- of the Navier-Stokes equations.To this end, the screech phenomenon -- a tonal noise that is sometimes generated by underexpanded jets -- is studied from alinear stability point of view. The results reveal that the nonlinear dynamics of this phenomenon is well-predicted by a linear base flow stability analysis. A confrontation with other similar analyses from the literature shows that such a satisfactory result is not always observed. However, when a self-sustained oscillating flow is driven by an acoustic feedback loop, as it is the case for the screech phenomenon, cavity flows and impinging jets for instance, then the nonlinearities have a weak impact on the frequency selection process, explaining the ability of a linear analysis to characterize the flow, even in the nonlinear regime.Another alternative approach, based on a linearization about the mean flow, is known to be successful in some cases where a base flow analysis fails. This observation from the literature is explained in this thesis by outlining the role of the resolvent operator, arising from a linearization about the mean flow, in the dynamics of a flow. The main finding is that if this operator displays a clear separation of singular values, which relates to the existence of one strong convective instability mechanism, then the Fourier modes areproportional to the first resolvent modes. This result provides mathematical and physical conditions for the use and meaning of several mean flow stability techniques, such as a parabolised stability equations analysis of a mean flow.Moreover, it leads to a predictive model for the frequency spectrum of a flow field at any arbitrary location, from the sole knowledge of the mean flow and the frequency spectrum at one or more points. All these findings are illustrated and validated in the case of a turbulent backward facing step flow. Finally, these results are exploited in an experimental context, for the reconstruction of the unsteady behavior of a transitional round jet, from the sole knowledge of the mean flow and one point-wise measurement. The study shows that, after following a few experimental precautions, detailed in the manuscript, the reconstruction is very accurate and robust.


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