Direct and inverse solvers for scattering problems from locally perturbed infinite periodic layers

par Thi Phong Nguyen

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Houssem Haddar.

Soutenue le 11-01-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Centre de mathématiques appliquées-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique / CMAP (laboratoire) .

Le président du jury était Patrick Joly.

Le jury était composé de Houssem Haddar, Laurent Bourgeois, Fioralba Cakoni, Armin Lechleiter, Tilo Arens.

Les rapporteurs étaient Jiguang Sun, Karim Ramdani.

  • Titre traduit

    Solveurs directs et inverses pour la diffraction par des couches périodiques infinies localement perturbées


  • Résumé

    Nous sommes intéressés dans cette thèse par l'analyse de la diffraction directe et inverse des ondes par des couches infinies périodiques localement perturbées à une fréquence fixe. Ce problème a des connexions avec le contrôle non destructif des structures périodiques telles que des structures photoniques, des fibres optiques, des réseaux, etc. Nous analysons d'abord le problème direct et établissons certaines conditions sur l'indice de réfraction pour lesquelles il n'existe pas de modes guidés. Ce type de résultat est important car il montre les cas pour lesquels les mesures peuvent être effectuées par exemple sur une couche au dessus de la structure périodique sans perdre des informations importantes dans la partie propagative de l'onde. Nous proposons ensuite une méthode numérique pour résoudre le problème de diffraction basée sur l'utilisation de la transformée de Floquet-Bloch dans les directions de périodicité. Nous discrétisons le problème de manière uniforme dans la variable de Floquet-Bloch et utilisons une méthode spectrale dans la discrétisation spatiale. La discrétisation en espace exploite une reformulation volumétrique du problème dans une cellule (équation intégrale de Lippmann-Schwinger) et une périodisation du noyau dans la direction perpendiculaire à la périodicité. Cette dernière transformation permet d'utiliser des techniques de type FFT pour accélérer le produit matrice-vecteur dans une méthode itérative pour résoudre le système linéaire. On aboutit à un système d'équations intégrales couplées (à cause de la perturbation locale) qui peuvent être résolues en utilisant une décomposition de Jacobi. L'analyse de la convergence est faite seulement dans le cas avec absorption et la validation numérique est réalisées sur des exemples 2D. Pour le problème inverse, nous étendons l'utilisation de trois méthodes d'échantillonnage pour résoudre le problème de la reconstruction de la géométrie du défaut à partir de la connaissance de données mutistatiques associées à des ondes incidentes planes en champ proche (c.à.d incluant certains modes évanescents). Nous analysons ces méthodes pour le problème semi-discrétisée dans la variable Floquet-Bloch. Nous proposons ensuite une nouvelle méthode d'imagerie capable de visualiser directement la géométrie du défaut sans savoir ni les propriétés physiques du milieux périodique, ni les propriétés physiques du défaut. Cette méthode que l'on appelle imagerie-différentielle est basée sur l'analyse des méthodes d'échantillonnage pour un seul mode de Floquet-Bloch et la relation avec les solutions de problèmes de transmission intérieurs d'un type nouveau. Les études théoriques sont corroborées par des expérimentations numériques sur des données synthétiques. Notre analyse est faite d'abord pour l'équation d'onde scalaire où le contraste est sur le terme d'ordre inférieur de l'opérateur de Helmholtz. Nous esquissons ensuite l'extension aux cas où la le contraste est également présent dans l'opérateur principal. Nous complémentons notre travail par deux résultats sur l'analyse du problème de diffraction pour des matériaux périodiques ayant des indices négatifs. Nous établissons en premier le caractère bien posé du problème en 2D dans le cas d'un contraste est égal à -1. Nous montrons également le caractère Fredholm de la formulation Lipmann-Schwinger du problème en utilisant l'approche de T-coercivité dans le cas d'un contraste différent de -1.


  • Résumé

    We are interested in this thesis by the analysis of scattering and inverse scattering problems for locally perturbed periodic infinite layers at a fixed frequency. This problem has connexions with non destructive testings of periodic media like photonics structures, optical fibers, gratings, etc. We first analyze the forward scattering problem and establish some conditions under which there exist no guided modes. This type of conditions is important as it shows that measurements can be done on a layer above the structure without loosing substantial informations in the propagative part of the wave. We then propose a numerical method that solves the direct scattering problem based on Floquet-Bloch transform in the periodicity directions of the background media. We discretize the problem uniformly in the Floquet-Bloch variable and use a spectral method in the space variable. The discretization in space exploits a volumetric reformulation of the problem in a cell (Lippmann-Schwinger integral equation) and a periodization of the kernel in the direction orthogonal to the periodicity. The latter allows the use of FFT techniques to speed up Matrix-Vector product in an iterative to solve the linear system. One ends up with a system of coupled integral equations that can be solved using a Jacobi decomposition. The convergence analysis is done for the case with absorption and numerical validating results are conducted in 2D. For the inverse problem we extend the use of three sampling methods to solve the problem of retrieving the defect from the knowledge of mutistatic data associated with incident near field plane waves. We analyze these methods for the semi-discretized problem in the Floquet-Bloch variable. We then propose a new method capable of retrieving directly the defect without knowing either the background material properties nor the defect properties. This so-called differential-imaging functional that we propose is based on the analysis of sampling methods for a single Floquet-Bloch mode and the relation with solutions toso-called interior transmission problems. The theoretical investigations are corroborated with numerical experiments on synthetic data. Our analysis is done first for the scalar wave equation where the contrast is the lower order term of the Helmholtz operator. We then sketch the extension to the cases where the contrast is also present in the main operator. We complement our thesis with two results on the analysis of the scattering problem for periodic materials with negative indices. Weestablish the well posedness of the problem in 2D in the case of a contrast equals -1. We also show the Fredholm properties of the volume potential formulation of the problem using the T-coercivity approach in the case of a contrast different from -1.


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