Sommes, produits et projections des ensembles discrétisés

par Weikun He

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Emmanuel Breuillard et de Péter Varjú.

Soutenue le 22-09-2017

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Stéphane Seuret.

Le jury était composé de Emmanuel Breuillard, Péter Varjú, Stéphane Seuret, Julien Barral, Bernard Host, Frédéric Paulin.

Les rapporteurs étaient Julien Barral.


  • Résumé

    Dans le cadre discrétisé, la taille d'un ensemble à l'échelle δ est évaluée par son nombre de recouvrement par δ-boules (également connu sous le nom de l'entropie métrique). Dans cette thèse, nous étudions les propriétés combinatoires des ensembles discrétisés sous l'addition, la multiplication et les projections orthogonales. Il y a trois parties principales. Premièrement, nous démontrons un théorème somme-produit dans les algèbres de matrices, qui généralise un théorème somme-produit de Bourgain concernant l'anneau des réels. On améliore aussi des estimées somme-produit en dimension supérieure obtenues précédemment par Bougain et Gamburd. Deuxièmement, on étudie les projections orthogonales des sous-ensembles de l'espace euclidien et étend ainsi le théorème de projection discrétisé de Bourgain aux projections de rang supérieur. Enfin, dans un travail en commun avec Nicolas de Saxcé, nous démontrons un théorème produit dans les groupes de Lie parfaits. Ce dernier résultat généralise les travaux antérieurs de Bourgain-Gamburd et de Saxcé.

  • Titre traduit

    Sums, Products and Projections of Discretized Sets


  • Résumé

    In the discretized setting, the size of a set is measured by its covering number by δ-balls (a.k.a. metric entropy), where δ is the scale. In this document, we investigate combinatorial properties of discretized sets under addition, multiplication and orthogonal projection. There are three parts. First, we prove sum-product estimates in matrix algebras, generalizing Bourgain's sum-product theorem in the ring of real numbers and improving higher dimensional sum-product estimates previously obtained by Bourgain-Gamburd. Then, we study orthogonal projections of subsets in the Euclidean space, generalizing Bourgain's discretized projection theorem to higher rank situations. Finally, in a joint work with Nicolas de Saxcé, we prove a product theorem for perfect Lie groups, generalizing previous results of Bourgain-Gamburd and Saxcé.


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