Benjamini-Schramm convergence of locally symmetric spaces

par Mikołaj Frączyk

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Emmanuel Breuillard.

Soutenue le 31-08-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Université Paris-Sud (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Emmanuel Ullmo.

Le jury était composé de Emmanuel Breuillard, Emmanuel Ullmo, Nicolas Bergeron, Erez Lapid, Farrell Brumley, Bertrand Rémy.

Les rapporteurs étaient Nicolas Bergeron, Erez Lapid.

  • Titre traduit

    Convergence de Benjamini-Schramm des espaces localement symétriques


  • Résumé

    Le sujet principal de ce mémoire est le comportement asymptotique de la géométrie et topologie des variétés localement symétriques Gamma\ X quand le volume tend vers l’infini. Notre premier résultat porte sur la convergence Benjamini-Schramm des 2 ou 3-variétés hyperboliques arithmétiques. Une suite d'espaces localement symétriques (Gamma_n\ X) converge Benjamini-Schramm vers l'espace symétrique X si pour chaque R>0 la limite de \Vol((\Gamma\X)_{<R})/Vol(\Gamma\bs X). On montre qu'il existe une constante réelle C=C_R satisfaisant la propriété suivante: pour chaque réseau arithmétique de congruence Gamma de \PGL(2,R) ou PGL(2,C) sans torsion on a Vol ((Gamma\ X)_{<R})<= C_R \ Vol (Gamma\ X)^0.986. Il n'y a qu'un nombre fini de réseaux arithmétiques de covolume borné par une constante donc ce résultat implique la convergence Benjamini-Schramm pour des variétés arithmétiques de congruence. On donne aussi une version de (\ref{AbsFr1}) un peu plus faible qui reste vraie pour des réseaux arithmétiques qui ne sont pas de congruence. Les majorations de volume de la partie $R$-mince sont déduites d'une version forte de la propriété de la multiplicité limite satisfaite par les réseaux arithmétiques de PGL(2,R) et PGL(2,C). En utilisant nos résultats on confirme la conjecture de Gelander pour des 3-variétés arithmétiques hyperboliques: pour chaque telle variété M on construit un complexe simplicial N homotope à M dont le nombre des simplexes est O(Vol(M)) et le degré des nœuds est uniformément borné par une constante absolue. Dans la deuxième partie on s'intéresse aux espaces localement symétriques Gamma\X où X est de rang supérieur ou égal à 2. Notre résultat principal affirme que la dimension du premier groupe d'homologie à coefficients dans F_2 (corps avec 2 éléments) est sous-linéaire en le volume. Ce résultat est à comparer avec des travaux de Calegari et Emerton sur la cohomologie mod-p dans les tours p-adiques des 3-variétés et les résultats d'Abert, Gelander et Nikolov sur le rang des sous-groupes d'un réseau de rang supérieur à angles droits. Le point fort de notre approche est qu'il n'y a pas besoin de travailler dans une seule classe de commensurabilité. La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle porte sur une extension du théorème de Kesten. Le théorème de Kesten affirme que si Gamma est un groupe engendré par un ensemble fini symétrique S, N est un sous-groupe normal de Gamma alors N est moyennable si et seulement si les rayons spectraux du graphe de Cayley Cay(Gamma,S) et du graphe de Scheier Sch(Gamma/N,S) coïncident. En utilisant les techniques de Abert, Glasner et Virag on généralise le theorème de Kesten aux N-uniformément récurrents.


  • Résumé

    The main theme of this work is the study of geometry and topology of locally symmetric spaces Gamma\ X as ther volume Vol(\Gamma\ X) tends to infinity. Our first main result concerns the Benjamini-Schramm convergence for arithmetic hyperbolic 2 or 3-manifolds. A sequence of locally symmetric spaces (Gamma_n\ X) converges Benjamini-Schramm to X if and only if for every radius R>0 the limit Vol((Gamma\ X)_{<R}/Vol (Gamma\ X) as n goes to infinity is 0, where (\Gamma\X)_{<R} stands for the R-thin part of Gamma\ X. We prove that there exists a positive constant C=C_R with the following property: for every torsion free, uniform, congruence arithmetic lattice Gamma in PGL(2,R) or PGL(2,C) Vol ((Gamma\ X)_{<R})<= C Vol (Gamma\X))^0.986. There is only finitely many arithmetic lattices of covolume bounded by a constant so the result above implies the Benjamini-Schramm convergence for any sequence of congruence arithmetic hyperbolic 3-manifolds. We also prove a similar but slightly weaker inequality for non-congruence subgroups. Our results are deduced form a strong form of the limit multiplicity property that holds for arithmetic lattices in PGL(2,R) of PGL(2,C). As an application of our bounds we confirm Gelander's conjecture on the triangulations of arithmetic hyperbolic 3-manifolds: we show that every arithmetic hyperbolic 3-manifold M admits a triangulation with O(Vol(M)) simplices and degrees of vertices bounded uniformly by an absolute constant. Next, we move to the setting of higher rank locally symmetric spaces. Let M_n=Gamma_n\ X be a sequence of pairwise distinct locally symmetric spaces modeled after a higher rank symmetric space X. We show that the dimension of the first homology group with coefficients in F_2 is sublinear in volume. This can be compared with the results of Calegari and Emerton on mod-p homology growth in p-adic analytic towers of 3-manifolds as well as the results of Abert, Gelander and Nikolov on the rank gradient of right-angled lattices in higher rank Lie groups.The main strength of our theorem is that we do not need to assume that the manifolds in question are commensurable. Our third result is independent of the first two. Kesten theorem asserts that if Gamma is group generated by a finite symmetric set S and N is a normal subgroup of Gamma then N is amenable if and only if the spectral radii of the Cayley graphs Cay(Gamma, S) and the Schreier graph Sch(Gamma/N,S) are equal. Building on the work of Abert, Glasner and Virag we extend Kesten's theorem to uniformly recurrent subgroups.


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