Flots géodésiques et théorie des modèles des corps différentiels

par Rémi Jaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Jean-Benoît Bost et de Martin Hils.

Soutenue le 30-06-2017

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (laboratoire) et de Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Zoé Chatzidakis.

Le jury était composé de Jean-Benoît Bost, Martin Hils, Zoé Chatzidakis, Élisabeth Bouscaren, Charlotte Hardouin, Martin Ziegler.

Les rapporteurs étaient Ehud Hrushovski, David Marker.


  • Résumé

    Le travail de cette thèse a pour objet les interactions entre deux approches d'étude des équations différentielles: la théorie des modèles des corps différentiellement clos d'une part et l'étude dynamique des équations différentielles réelles d'autre part. Dans le premier chapitre, on présente un formalisme d'algèbre différentielle, en termes de D-schémas à la Buium au-dessus du corps des nombres réels (muni de la dérivation triviale), qui permet de rendre compte de ces deux approches d'étude en même temps. Le résultat principal est un critère d'orthogonalité aux constantes pour le type générique d'une D-variétés réelle absolument irréductible, basé sur la dynamique topologique de son flot réel analytique associé. Le deuxième chapitre est consacré aux équations différentielles algébriques décrivant le flot géodésique de variétés algébriques réelles munies de 2-formes symétriques non-dégénérées. A l'aide du critère précédent, on démontre un théorème d'orthogonalité aux constantes "en courbure strictement négative'', s'appuyant sur les résultats d'Anosov et de ses successeurs concernant la dynamique topologique - la propriété de mélange topologique faible - du flot géodésique d'une variété riemannienne compacte à courbure strictement négative. En dimension 2, on conjecture en fait une description plus précise - son type générique est minimal de prégéométrie triviale - de la structure associée aux équations différentielles géodésiques unitaires. On présente, dans le troisième chapitre, des motivations et des résultats partiels concernant cette conjecture.

  • Titre traduit

    Geodesic Flows and Model Theory of Differential Fields


  • Résumé

    This thesis is dedicated to studying the interactions between two different approaches regarding differential equations: the model-theory of differentially closed fields on the one side and the dynamical analysis of real differential equations, on the other side. In the first chapter, we present a formalism from differential algebra, in terms of D-varieties à la Buium over the field of real numbers (endowed with the trivial derivation), that allows one to realise both approaches at the same time. The main result is a criterion of orthogonality to the constants, based on the topological dynamic of its associated real analytic flow. The second chapter is dedicated to the algebraic differential equations describing the (unitary) geodesic flow of a real algebraic variety endowed with an algebraic, non-degenerated symmetric 2-form. Using the previous criterion, we prove a theorem of orthogonality to the constants "in negative curvature'', that relies on the results of Anosov and of his followers, regarding the topological dynamic - the weakly mixing topological property - for the geodesic flow of a compact Riemannian manifold with negative curvature. In dimension 2, we conjecture a more precise description - its generic type is minimal and has a trivial pregeometry- for the structure associated to the unitary geodesic equation. In the third chapter, we present some motivations and partial results on this conjecture.


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