Mixing and fluid dynamics under location uncertainty

par Valentin Resseguier

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Étienne Mémin.

  • Titre traduit

    Mélange et mécanique des fluides sous incertitude de position


  • Résumé

    Cette thèse concerne le développement, l'extension et l'application d'une formulation stochastique des équations de la mécanique des fluides introduite par Mémin (2014). La vitesse petite échelle, non-résolue, est modélisée au moyen d'un champ aléatoire décorrélé en temps. Cela modifie l'expression de la dérivée particulaire et donc les équations de la mécanique des fluides. Les modèles qui en découlent sont dénommés modèles sous incertitude de position. La thèse s'articulent autour de l'étude successive de modèles réduits, de versions stochastiques du transport et de l'advection à temps long d'un champ de traceur par une vitesse mal résolue. La POD est une méthode de réduction de dimension, pour EDP, rendue possible par l'utilisation d'observations. L'EDP régissant l'évolution de la vitesse du fluide est remplacée par un nombre fini d'EDOs couplées. Grâce à la modélisation sous incertitude de position et à de nouveaux estimateurs statistiques, nous avons dérivé et simulé des versions réduites, déterministe et aléatoire, de l'équation de Navier-Stokes. Après avoir obtenu des versions aléatoires de plusieurs modèles océaniques, nous avons montré numériquement que ces modèles permettaient de mieux prendre en compte les petites échelles des écoulements, tout en donnant accès à des estimés de bonne qualité des erreurs du modèle. Ils permettent par ailleurs de mieux rendre compte des évènements extrêmes, des bifurcations ainsi que des phénomènes physiques réalistes absents de certains modèles déterministes équivalents. Nous avons expliqué, démontré et quantifié mathématiquement l'apparition de petites échelles de traceur, lors de l'advection par une vitesse mal résolu. Cette quantification permet de fixer proprement des paramètres de la méthode d'advection Lagrangienne, de mieux le comprendre le phénomène de mélange et d'aider au paramétrage des simulations grande échelle en mécanique des fluides.


  • Résumé

    This thesis develops, analyzes and demonstrates several valuable applications of randomized fluid dynamics models referred to as under location uncertainty. The velocity is decomposed between large-scale components and random time-uncorrelated small-scale components. This assumption leads to a modification of the material derivative and hence of every fluid dynamics models. Through the thesis, the mixing induced by deterministic low-resolution flows is also investigated. We first applied that decomposition to reduced order models (ROM). The fluid velocity is expressed on a finite-dimensional basis and its evolution law is projected onto each of these modes. We derive two types of ROMs of Navier-Stokes equations. A deterministic LES-like model is able to stabilize ROMs and to better analyze the influence of the residual velocity on the resolved component. The random one additionally maintains the variability of stable modes and quantifies the model errors. We derive random versions of several geophysical models. We numerically study the transport under location uncertainty through a simplified one. A single realization of our model better retrieves the small-scale tracer structures than a deterministic simulation. Furthermore, a small ensemble of simulations accurately predicts and describes the extreme events, the bifurcations as well as the amplitude and the position of the ensemble errors. Another of our derived simplified model quantifies the frontolysis and the frontogenesis in the upper ocean. This thesis also studied the mixing of tracers generated by smooth fluid flows, after a finite time. We propose a simple model to describe the stretching as well as the spatial and spectral structures of advected tracers. With a toy flow but also with satellite images, we apply our model to locally and globally describe the mixing, specify the advection time and the filter width of the Lagrangian advection method, as well as the turbulent diffusivity in numerical simulations.


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