Synthèse d'observateur pour systèmes non linéaires

par Pauline Bernard

Thèse de doctorat en Mathématiques et automatique

Sous la direction de Laurent Praly et de Vincent Andrieu.

Soutenue le 20-11-2017

à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de École doctorale Sciences des métiers de l'ingénieur (Paris) , en partenariat avec Centre automatique et systèmes (Fontainebleau, Seine et Marne) (laboratoire) et de École nationale supérieure des mines (Paris) (établissement de préparation de la thèse) .

Le président du jury était Philippe Moireau.

Le jury était composé de Laurent Praly, Vincent Andrieu, Hélène Piet-Lahanier.

Les rapporteurs étaient Alberto Isidori, Alain Rapaport, Witold Respondek.


  • Résumé

    Contrairement aux systèmes linéaires, il n’existe pas de méthode systématique pour la synthèse d’observateurs pour systèmes non linéaires. Cependant, la synthèse peut être plus ou moins simple suivant les coordonnées choisies pour exprimer la dynamique. Des structures particulières, appelées formes canoniques, ont notamment été identifiées comme permettant la construction facile et directe d’un observateur. Une façon usuelle de résoudre ce problème consiste donc à chercher un changement de coordonnées réversible transformant l’expression de la dynamique dans l’une de ces formes canoniques, puis à synthétiser l’observateur dans ces coordonnées, et enfin à en déduire une estimation de l’état du système dans les coordonnées initiales par inversion de la transformation. Cette thèse contribue à chacune de ces trois étapes. Premièrement, nous montrons l’intérêt d’une nouvelle forme triangulaire avec des non linéarités continues (non Lipschitz). En effet, les systèmes observables pour toutes entrées, mais dont l'ordre d’observabilité différentielle est supérieur à la dimension du système, peuvent ne pas être transformables dans la forme triangulaire Lipschitz standard, mais plutôt dans une forme triangulaire "seulement continue". Le célèbre observateur grand gain n’est alors plus suffisant, et nous proposons d’utiliser plutôt des observateurs homogènes.Une autre forme canonique intéressante est la forme linéaire Hurwitz, qui admet un observateur trivial. La question de la transformation d’un système non linéaire dans une telle forme n’a été étudiée que pour les systèmes autonomes à travers les observateurs de Kazantzis-Kravaris ou de Luenberger. Nous montrons ici comment cette synthèse, consistant à résoudre une EDP, peut être étendue aux systèmes instationnaires/commandés. Quant à l’inversion de la transformation, cette étape est loin d’être triviale en pratique, surtout lorsque les espaces de départ et d’arrivée ont des dimensions différentes. En l’absence d’expression explicite et globale de l’inverse, l’inversion numérique repose souvent sur la résolution d’un problème de minimisation couteux en calcul. C’est pourquoi nous développons une méthode qui permet d’éviter l’inversion explicite de la transformation en ramenant la dynamique de l’observateur (exprimée dans les coordonnées de la forme canonique) dans les coordonnées initiales du système. Ceci passe par l’ajout de nouvelles coordonnées et par l’augmentation d’une immersion injective en un difféomorphisme surjectif. Enfin, dans une partie totalement indépendante, nous proposons aussi des résultats concernant l’estimation de la position du rotor d’un moteur synchrone à aimant permanent en l’absence d’informations mécaniques (sensorless) et lorsque des paramètres tels que la résistance ou le flux de l’aimant sont inconnus. Ceci est illustré par des simulations sur données réelles.

  • Titre traduit

    Observer design for nonlinear systems


  • Résumé

    Unlike for linear systems, no systematic method exists for the design of observers for nonlinear systems. However, observer design may be more or less straightforward depending on the coordinates we choose to express the system dynamics. In particular, some specific structures, called canonical forms, have been identified for allowing a direct and easier observer construction. It follows that a common way of addressing the problem consists in looking for a reversible change of coordinates transforming the exression of the system dynamics into one of those canonical forms, design an observer in those coordinates, and finally deduce an estimate of the system state in the initial coordinates via inversion of the transformation. This thesis contributes to each of those three steps.First, we show the interest of a new triangular canonical form with continuous (non-Lipschitz) nonlinearities. Indeed, we have noticed that systems which are observable for any input but with an order of differential observability larger than the system dimension, may not be transformable into the standard Lipschitz triangular form, but rather into an "only continuous" triangular form. In this case, the famous high gain observer no longer is sufficient, and we propose to use homogeneous observers instead.Another canonical form of interest is the Hurwitz linear form which admits a trivial observer. The question of transforming a nonlinear system into such a form has only been addressed for autonomous systems with the so-called Lunberger or Kazantzis-Kravaris observers. This design consists in solving a PDE and we show here how it can be extended to time-varying/controlled systems.As for the inversion of the transformation, this step is far from trivial in practice, in particular when the domain and image spaces have different dimensions. When no explicit expression for a global inverse is available, numerical inversion usually relies on the resolution of a minimization problem with a heavy computational cost. That is why we develop a method to avoid the explicit inversion of the transformation by bringing the observer dynamics (expressed in the canonical form coordinates) back into the initial system coordinates. This is done by dynamic extension, i-e by adding some new coordinates to the system and augmenting an injective immersion into a surjective diffeomorphism.Finally, in a totally independent part, we also provide some results concerning the estimation of the rotor position of a permanent magnet synchronous motors without mechanical information (sensorless) and when some parameters such as the magnet flux or the resistance are unknown. We illustrate this with simulations on real data.


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