Simulation parfaite de réseaux fermés de files d’attente et génération aléatoire de structures combinatoires

par Christelle Rovetta

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Anne Bouillard et de Ana Bušić.

Le président du jury était Laurent Massoulié.

Le jury était composé de Anne Bouillard, Ana Bušić, Laurent Massoulié, Alain Jean-Marie, Claire Mathieu, Thomas Fernique.

Les rapporteurs étaient Alain Jean-Marie, Simonetta Balsamo.


  • Résumé

    La génération aléatoire d'objets combinatoires est un problème qui se pose dans de nombreux domaines de recherche (réseaux de communications, physique statistique, informatique théorique, combinatoire, etc.). Couramment, la distribution des échantillons est définie comme la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov ergodique. En 1996, Propp et Wilson ont proposé un algorithme permettant l'échantillonnage sans biais de la distribution stationnaire. Ce dernier appelé aussi algorithme de simulation parfaite, requiert la simulation en parallèle de tous les états possibles de la chaîne. Plusieurs stratégies ont été mises en œuvre afin de ne pas avoir à simuler toutes les trajectoires. Elles sont intrinsèquement liées à la structure de la chaîne considérée et reposent essentiellement sur la propriété de monotonie, la construction de processus bornants qui exploitent la structure de treillis de l'espace d'états ou le caractère local des transitions. Dans le domaine des réseaux de communications, on s'intéresse aux performances des réseaux de files d'attente. Ces derniers se distinguent en deux groupes : ceux dont la distribution stationnaire possède une forme produit qui est facile à évaluer par le calcul et les autres. Pour ce dernier groupe, on utilise la génération aléatoire pour l'évaluation de performances. De par la structure des chaînes qui leurs sont associées, les réseaux ouverts de files d'attente se prêtent bien à la simulation via l'algorithme de simulation parfaite mais pas les réseaux fermés. La difficulté réside dans la taille de l'espace des états qui est exponentielle en le nombre de files à laquelle s'ajoute une contrainte globale à savoir le nombre constant de clients. La contribution principale de cette thèse est une nouvelle structure de données appelée diagramme. Cette structure est inspirée de la programmation dynamique et introduit une nouvelle technique de construction de processus bornant. La première partie du manuscrit est consacrée à la mise en œuvre de l'algorithme de Propp et Wilson pour des réseaux fermés n'étant pas nécessairement à forme produit. La représentation des états par un diagramme et l'opération de transition pour le processus bornant a dès lors une complexité polynomiale en le nombre de files et de clients. Cette technique est ensuite étendue aux réseaux fermés multiclasses ainsi qu'aux réseaux possédant des synchronisations. Une spécification des ensembles d'objets pouvant être représentés par un diagramme ainsi que des algorithmes agissant sur cette structure de données sont également proposés dans cette thèse. La méthode de Botzmann est une autre technique de simulation sans biais. Basée sur la combinatoire analytique, elle permet l'échantillonnage uniforme d'objets appartenant à une même classe combinatoire. Elle est employée dans la seconde partie de cette thèse afin d'échantillonner la distribution stationnaire de réseaux fermés à forme produit et pour la génération des multi-ensembles de taille fixe. Dans ce cadre, les diagrammes sont une nouvelle fois mis à profit. Enfin, la troisième partie présente les logiciels découlant des travaux présentés tout au long de ce travail, et qui implémentent les diagrammes et mettent en œuvre la simulation parfaite de réseaux fermés de files d'attente.

  • Titre traduit

    Perfect sampling of closed queueing networks and random generation of combinatorial objects


  • Résumé

    Random generation of combinatorial objects is an important problem in many fields of research (communications networks, theoretical computing, combinatorics, statistical physics, ...). This often requires sampling the stationary distribution of an ergodic Markov chain. In 1996, Propp and Wilson introduced an algorithm to produce unbiased samples of the stationary distribution, also called a perfect sampling algorithm. It requires parallel simulation of all possible states of the chain. To avoid simulating all the trajectories, several strategies have been implemented. But they are related to the structure of the chain and require a monotonicity property, or a construction of a bounding chain that exploits the lattice structure of the state space or the local character of the transitions.In the field of communications networks, attention is paid to the performance of queueing networks, that can be distinguished into two groups: the networks that have a product form stationary distribution which is easy to compute. Random generation can be used for the others. Perfect sampling algorithms can be used for open queueing networks, thanks to the lattice structure of their state space. Unfortunately, that is not the case for closed queueing networks, due to the size of the state space which is exponential in the number of queues and a global constraint (a constant number of customers). The main contribution of this thesis is a new data structure called a diagram. It is inspired by dynamic programming and allows a new technique of construction of bounding processes. The first part of the manuscript is devoted to the implementation of the Propp and Wilson algorithm for closed queueing networks. The representation of a set of states by a diagram and the transition operation for the bounding process has a polynomial complexity in the number of queues and customers. This technique is extended to closed multi-class networks and to networks with synchronizations. Specification of sets of objects that can be represented by a diagram and generic algorithms that use this data structure are proposed in this manuscript. The Boltzmann method is another unbiased sampling technique. It is based on analytical combinatorics and produces uniform samples from objects that belong to the same combinatorial class. It is used in the second part of this thesis in order to sample the stationary distribution of closed networks with product form and for the generation of multisets of fixed cardinality. Diagrams are used again in this context. Finally, the third part presents the software produced during this thesis, implementing diagrams and perfect simulation of closed queueing networks.


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