Structures de Clifford paires et résonances quantiques

par Charles Hadfield

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Colin Guillarmou et de Andrei Moroianu.

Le président du jury était Olivier Biquard.

Le jury était composé de Colin Guillarmou, Andrei Moroianu, Olivier Biquard, Marc Herzlich, Erwann Delay, Paul Gauduchon, Joachim Hilgert.

Les rapporteurs étaient Marc Herzlich, András Vasy.


  • Résumé

    Ce manuscrit se compose de deux parties indépendantes. La première partie de cette thèse étudie les structures de Clifford paires. Pour une variété riemannienne munie d’une structure de Clifford paire, nous introduisons l’espace de twisteurs en généralisant la construction d’un tel espace dans le cas d’une variété quaternion-hermitienne. Nous construisons une structure presque-complexe sur l’espace de twisteurs et considérons son intégrabilité lorsque la structure de Clifford est parallèle. Dans certains cas, nous pouvons aussi le fournir d’une métriquekählerienne ou, correspondant à une structure presque-complexe alternative, d’une métrique “nearly Kähler”. Dans un second temps, nous introduisons une structure appelée Clifford-Weyl sur une variété conforme. Il s’agit d’une structure de Clifford paireq ui est parallèle par rapport au produit tensoriel d’une connexion métrique sur le fibré de Clifford et une connexion de Weyl. Nous démontrons que la connexion de Weyl est fermée sauf dans certains cas génériques de basse dimension où nous arrivons à décrire des exemples explicites où les structures de Clifford-Weyl sont non-fermées. La seconde partie de cette thèse étudie des résonances quantiques. Au-dessus d’une variété asymptotiquement hyperbolique paire, nous considérons le laplacien de Lichnerowicz agissant sur les sections du fibré des formes multilinéaires symétriques.Lorsqu’il s’agit de formes bilinéaires symétriques, nous obtenonsune extension méromorphe de la résolvante dudit laplacien à l’ensemble du plan complexe si la variété est Einstein. Cela définit les résonances quantiques pour ce laplacien. Pour les formes multilinéaires symétriques en général, une telle extension méromorphe est possible si la variété est convexe-cocompacte. Dans les deux cas, nous devons restreindre le laplacien aux sections qui sont de trace et de divergence nulles. Nous utilisons ce deuxième résultat afin d’établir une correspondance classique-quantique pour les variétés hyperboliques convexescocompactes.La correspondance identifie le spectre du flot géodésique (les résonances de Ruelle) avec les spectres des laplaciens agissant sur les tenseurs symétriques qui sont de trace et de divergence nulles (les résonances quantiques).

  • Titre traduit

    Even Clifford structures and Quantum Resonances


  • Résumé

    We study independently even Clfford structures on Riemannian manifolds and quantum resonances on asymptotically hyperbolic manifolds. In the first part of this thesis, we study even Clifford structures.First, we introduce the twistor space of a Riemannian manifold with an even Clifford structure. This notion generalises the twistor space of quaternion-Hermitian manifolds. We construct almost complex structures on the twistor space and check their integrability when the even Clifford structure is parallel. In some cases we give Kähler and nearly-Kähler metrics to these spaces. Second, we introduce the concept of a Clifford-Weyl structure on a conformal manifold. This consists of an even Clifford structure parallel with respect to the tensor product of a metric connection on the Clifford bundle and a Weyl structure on the manifold. We show that the Weyl structure is necessarily closed except for some “generic” low-dimensional instances,where explicit examples of non-closed Clifford-Weyl structures are constructed. In the second part of this thesis, we study quantum resonances. First, we consider the Lichnerowicz Laplacian acting on symmetric 2-tensors on manifolds with an even Riemannian conformally compact Einstein metric. The resolvent of the Laplacian,upon restriction to trace-free, divergence-free tensors, is shown to have a meromorphic continuation to the complex plane. This defines quantum resonances for this Laplacian. For higher rank symmetric tensors, a similar result is proved for convex cocompact quotients of hyperbolic space. Second, we apply this result to establish a direct classical-quantum correspondence on convex cocompact hyperbolic manifolds. The correspondence identifies the spectrum of the geodesic flow with the spectrum of the Laplacian acting on trace-free, divergence-free symmetric tensors. This extends the correspondence previously obtained for cocompact quotients


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