Stabilité pour des modèles de réseaux de neurones et de chimiotaxie

par Qilong Weng

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Stéphane Mischler.

Soutenue le 29-09-2017

à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de Ecole doctorale de Dauphine (Paris) , en partenariat avec Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) et de Université Paris-Dauphine (Etablissement de préparation de la thèse) .

Le président du jury était Lucilla Corrias.

Le jury était composé de Lucilla Corrias, Delphine Salort, Marc Hoffmann, Otared Kavian.

Les rapporteurs étaient Delphine Salort.


  • Résumé

    Cette thèse vise à étudier certains modèles biologiques dans le réseau neuronal et dans la chimiotaxie avec la méthode d’analyse spectrale. Afin de traiter les principaux problèmes, tels que l’existence et l’unicité des solutions et des états stationnaires ainsi que les comportements asymptotiques, le modèle linéaire ou linéarisé associé est considéré par l’aspect du spectre et des semi-groupes dans les espaces appropriés, puis la stabilité de modèle non linéaire suit. Plus précisément, nous commençons par une équation de courses-et-chutes linéaire dans la dimension d≥1 pour établir l’existence d’un état stationnaire unique, positif et normalisé et la stabilité exponentielle asymptotique dans l’espace L¹ pondéré basé sur la théorie de Kerin-Rutman avec quelques estimations du moment de la théorie cinétique. Ensuite, nous considérons le modèle du temps écoulé sous les hypothèses générales sur le taux de tir et nous prouvons l’unicité de l’état stationnaire et sa stabilité exponentielle non linéaire en cas sans ou avec délai au régime de connectivité faible de la théorie de l’analyse spectrale pour les semi-groupes. Enfin, nous étudions le modèle sous une hypothèse de régularité plus faible sur le taux de tir et l’existence de la solution ainsi que la même stabilité exponentielle sont généralement établies n’importe la prise en compte du délai ou non, au régime de connectivité faible ou forte.

  • Titre traduit

    Stability for the models of neuronal network and chemotaxis


  • Résumé

    This thesis is aimed to study some biological models in neuronal network and chemotaxis with the spectral analysis method. In order to deal with the main concerning problems, such as the existence and uniqueness of the solutions and steady states as well as the asymptotic behaviors, the associated linear or linearized model is considered from the aspect of spectrum and semigroups in appropriate spaces then the nonlinear stability follows. More precisely, we start with a linear runs-and-tumbles equation in dimension d≥1 to establish the existence of a unique positive and normalized steady state and the exponential asymptotic stability in weighted L¹ space based on the Krein-Rutman theory together with some moment estimates from kinetic theory. Then, we consider time elapsed model under general assumptions on the firing rate and prove the uniqueness of the steady state and its nonlinear exponential stability in case without or with delay in the weak connectivity regime from the spectral analysis theory for semigroups. Finally, we study the model under weaker regularity assumption on the firing rate and the existence of the solution as well as the same exponential stability are established generally no matter taking delay into account or not and no matter in weak or strong connectivity regime.


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