Bayesian methods for inverse problems in signal and image processing

par Yosra Marnissi

Thèse de doctorat en Signal, Image, Automatique

Sous la direction de Jean-Christophe Pesquet.

Le président du jury était Gersende Fort.

Le jury était composé de Jean-Christophe Pesquet, C?dric F?votte, Philippe Ciuciu, Emilie Chouzenoux, Amel Benazza, Nelly Pustenlik.

Les rapporteurs étaient C?dric F?votte, Philippe Ciuciu.

  • Titre traduit

    M?thodes bay?siennes pour la r?solution des probl?mes inverses de grande dimension en traitement du signal et des images


  • Résumé

    Les approches bay?siennes sont largement utilis?es dans le domaine du traitement du signal. Elles utilisent des informations a priori sur les param?tres inconnus ? estimer ainsi que des informations sur les observations, pour construire des estimateurs. L'estimateur optimal au sens du co?t quadratique est l'un des estimateurs les plus couramment employ?s. Toutefois, comme la loi a posteriori exacte a tr?s souvent une forme complexe, il faut g?n?ralement recourir ? des outils d'approximation bay?siens pour l'approcher. Dans ce travail, nous nous int?ressons particuli?rement ? deux types de m?thodes: les algorithmes d'?chantillonnage Monte Carlo par cha?nes de Markov (MCMC) et les approches bas?es sur des approximations bay?siennes variationnelles (VBA).La th?se est compos?e de deux parties. La premi?re partie concerne les algorithmes d'?chantillonnage. Dans un premier temps, une attention particuli?re est consacr?e ? l'am?lioration des m?thodes MCMC bas?es sur la discr?tisation de la diffusion de Langevin. Nous proposons une nouvelle m?thode pour r?gler la composante directionnelle de tels algorithmes en utilisant une strat?gie de Majoration-Minimisation ayant des propri?t?s de convergence garanties. Les r?sultats exp?rimentaux obtenus lors de la restauration d'un signal parcimonieux confirment la rapidit? de cette nouvelle approche par rapport ? l'?chantillonneur usuel de Langevin. Dans un second temps, une nouvelle m?thode d'?chantillonnage bas?e sur une strat?gie d'augmentation des donn?es est propos?e pour am?liorer la vitesse de convergence et les propri?t?s de m?lange des algorithmes d'?chantillonnage standards. L'application de notre m?thode ? diff?rents exemples en traitement d'images montre sa capacit? ? surmonter les difficult?s li?es ? la pr?sence de corr?lations h?t?rog?nes entre les coefficients du signal.Dans la seconde partie de la th?se, nous proposons de recourir aux techniques VBA pour la restauration de signaux d?grad?s par un bruit non-gaussien. Afin de contourner les difficult?s li?es ? la forme compliqu?e de la loi a posteriori, une strat?gie de majoration est employ?e pour approximer la vraisemblance des donn?es ainsi que la densit? de la loi a priori. Gr?ce ? sa flexibilit?, notre m?thode peut ?tre appliqu?e ? une large classe de mod?les et permet d'estimer le signal d'int?r?t conjointement au param?tre de r?gularisation associ? ? la loi a priori. L'application de cette approche sur des exemples de d?convolution d'images en pr?sence d'un bruit mixte Poisson-gaussien, confirme ses bonnes performances par rapport ? des m?thodes supervis?es de l'?tat de l'art.


  • Résumé

    Bayesian approaches are widely used in signal processing applications. In order to derive plausible estimates of original parameters from their distorted observations, they rely on the posterior distribution that incorporates prior knowledge about the unknown parameters as well as informations about the observations. The posterior mean estimator is one of the most commonly used inference rule. However, as the exact posterior distribution is very often intractable, one has to resort to some Bayesian approximation tools to approximate it. In this work, we are mainly interested in two particular Bayesian methods, namely Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling algorithms and Variational Bayes approximations (VBA).This thesis is made of two parts. The first one is dedicated to sampling algorithms. First, a special attention is devoted to the improvement of MCMC methods based on the discretization of the Langevin diffusion. We propose a novel method for tuning the directional component of such algorithms using a Majorization-Minimization strategy with guaranteed convergence properties.Experimental results on the restoration of a sparse signal confirm the performance of this new approach compared with the standard Langevin sampler. Second, a new sampling algorithm based on a Data Augmentation strategy, is proposed to improve the convergence speed and the mixing properties of standard MCMC sampling algorithms. Our methodological contributions are validated on various applications in image processing showing the great potentiality of the proposed method to manage problems with heterogeneous correlations between the signal coefficients.In the second part, we propose to resort to VBA techniques to build a fast estimation algorithm for restoring signals corrupted with non-Gaussian noise. In order to circumvent the difficulties raised by the intricate form of the true posterior distribution, a majorization technique is employed to approximate either the data fidelity term or the prior density. Thanks to its flexibility, the proposed approach can be applied to a broad range of data fidelity terms allowing us to estimate the target signal jointly with the associated regularization parameter. Illustration of this approach through examples of image deconvolution in the presence of mixed Poisson-Gaussian noise, show the good performance of the proposed algorithm compared with state of the art supervised methods.


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