Rigid motions on discrete spaces

par Kacper Pluta

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Pascal Romon.

Soutenue le 16-11-2017

à Paris Est , dans le cadre de ?cole doctorale Math?matiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (laboratoire) et de Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge / LIGM (laboratoire) .

Le président du jury était David Coeurjolly.

Le jury était composé de Pascal Romon, Yukiko Kenmochi, Atsushi Imiya.

Les rapporteurs étaient Val?rie Berth?, ?ric Andres.

  • Titre traduit

    D?placements sur des espaces discrets


  • Résumé

    En g?om?trie discr?te, les objets euclidiens sont repr?sent?s par leurs approximations discr?tes, telles que des sous-ensembles du r?seau des points ? coordonn?es enti?res. Les d?placements de ces ensembles doivent ?tre d?finis comme des applications depuis et sur un espace discret donn?. Une fa?on de concevoir de telles transformations est de combiner des d?placements continus d?finis sur un espace euclidien avec un op?rateur de discr?tisation. Cependant, les d?placements discr?tis?s ne satisfont souvent plus les propri?t?s de leurs ?quivalents continus. En effet, en raison de la discr?tisation, de telles transformations ne pr?servent pas les distances, et la bijectivit? et la connexit? entre les points sont g?n?ralement perdues. Dans le contexte des espaces discrets 2D, nous ?tudions des d?placements discr?tis?s sur les r?seaux d'entiers de Gauss et d'Eisenstein. Nous caract?risons les d?placements discr?tis?s bijectifs sur le r?seau carr?, et les rotations bijectives discr?tis?es sur le r?seau hexagonal r?gulier. En outre, nous comparons les pertes d'information induites par des d?placements discr?tis?s non bijectifs d?finis sur ces deux r?seaux. Toutefois, pour des applications pratiques, l'information pertinente n'est pas la bijectivit? globale, mais celle d'un d?placement discr?tis? restreint ? un sous-ensemble fini donn? d'un r?seau. Nous proposons deux algorithmes testant cette condition pour les sous-ensembles du r?seau entier, ainsi qu'un troisi?me algorithme fournissant des intervalles d'angles optimaux qui pr?servent cette bijectivit? restreinte. Nous nous concentrons ensuite sur les d?placements discr?tis?s sur le r?seau cubique 3D. Tout d'abord, nous ?tudions ? l'?chelle locale des d?fauts g?om?triques et topologiques induits par des d?placements discr?tis?s. Une telle analyse consiste ? g?n?rer toutes les images d'un ensemble du r?seau fini sous des d?placements discr?tis?s. Un tel probl?me revient ? calculer un arrangement d'hypersurfaces dans un espace de param?tres de dimension six. La dimensionnalit? et les cas d?g?n?r?s rendent le probl?me insoluble, en pratique, par les techniques usuelles. Nous proposons une solution ad hoc reposant sur un d?couplage des param?tres, et un algorithme pour calculer des points d'?chantillonnage de composantes connexes 3D dans un arrangement de polyn?mes du second degr?. Enfin, nous nous concentrons sur le probl?me ouvert de d?terminer si une rotation discr?tis?e 3D est bijective ou non. Dans notre approche, nous explorons les propri?t?s arithm?tiques des quaternions de Lipschitz. Ceci conduit ? un algorithme qui d?termine si une rotation discr?tis?e donn?e, associ?e ? un quaternion de Lipschitz, est bijective ou non


  • Résumé

    In digital geometry, Euclidean objects are represented by their discrete approximations, e.g. subsets of the lattice of integers. Rigid motions of such sets have to be defined as maps from and onto a given discrete space. One way to design such motions is to combine continuous rigid motions defined on Euclidean space with a digitization operator. However, digitized rigid motions often no longer satisfy properties of their continuous siblings. Indeed, due to digitization, such transformations do not preserve distances, while bijectivity and point connectivity are generally lost. In the context of 2D discrete spaces, we study digitized rigid motions on the lattices of Gaussian and Eisenstein integers. We characterize bijective digitized rigid motions on the integer lattice, and bijective digitized rotations on the regular hexagonal lattice. Also, we compare the information loss induced by non-bijective digitized rigid motions defined on both lattices. Yet, for practical applications, the relevant information is not global bijectivity, but bijectivity of a digitized rigid motion restricted to a given finite subset of a lattice. We propose two algorithms testing that condition for subsets of the integer lattice, and a third algorithm providing optimal angle intervals that preserve this restricted bijectivity. We then focus on digitized rigid motions on 3D integer lattice. First, we study at a local scale geometric and topological defects induced by digitized rigid motions. Such an analysis consists of generating all the images of a finite digital set under digitized rigid motions. This problem amounts to computing an arrangement of hypersurfaces in a 6D parameter space. The dimensionality and degenerate cases make the problem practically unsolvable for state-of-the-art techniques. We propose an ad hoc solution, which mainly relies on parameter uncoupling, and an algorithm for computing sample points of 3D connected components in an arrangement of second degree polynomials. Finally, we focus on the open problem of determining whether a 3D digitized rotation is bijective or not. In our approach, we explore arithmetic properties of Lipschitz quaternions. This leads to an algorithm which answers whether a given digitized rotation?related to a Lipschitz quaternion?is bijective or not

Accéder en ligne

Par respect de la propriété intellectuelle des ayants droit, certains éléments de cette thèse ont été retirés.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Communautés d’Universités et d'Etablissements Université Paris-Est. Bibliothèque universitaire.
  • Bibliothèque : École des Ponts ParisTech (Marne-la-Vallée, Seine-et-Marne). Bibliothèque électronique.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.