D?veloppements combinatoires autour des tableaux et des nombres eul?riens

par Zakaria Chemli

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Christophe Novelli.

Soutenue le 31-03-2017

à Paris Est , dans le cadre de ?cole doctorale Math?matiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (laboratoire) et de Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge / LIGM (laboratoire) .

Le président du jury était Hacene Belbachir.

Le jury était composé de Jean-Christophe Novelli, Samuele Giraudo, Christophe Hohlweg.

Les rapporteurs étaient Fran?ois Bergeron, Jean-Gabriel Luque, Sylvie Corteel.


  • Résumé

    Cette th?se se situe au carrefour de la combinatoire ?num?rative, alg?brique et bijective. Elle se consacre d?une part ? traduire des probl?mes alg?briques en des probl?mes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme alg?brique pour traiter des questions combinatoires.Apr?s un rappel des notions classiques de combinatoire et de structures alg?briques, nous abordons l??tude des tableaux de dominos d?cal?s, qui sont des objets combinatoires d?finis dans le but de mieux comprendre la combinatoire des fonctions sym?triques P et Q de Schur. Nous donnons la d?finition de ces tableaux et nous d?montrons qu'ils sont en bijection avec les paires de tableaux de Young d?cal?s. Cette bijection nous permet de voir ces objets comme des ?l?ments du super mono?de plaxique d?cal?, qui est l'analogue d?cal? du super mono?de plaxique de Carr? et Leclerc. Nous montrons aussi que ces tableaux d?crivent un produit de deux fonctions P de Schur et en prenant un autre type de tableaux de dominos d?cal?s, nous d?crivons un produit de deux fonctions Q de Schur. Nous proposons aussi deux algorithmes d'insertion pour les tableaux de dominos d?cal?s, analogues aux algorithmes d'insertion mixte et d'insertion gauche-droit de Haiman. Toujours dans le domaine de la combinatoire bijective, nous nous int?ressons dans la deuxi?me partie de notre travail ? des bijections en lien avec des statistiques sur les permutations et les nombres eul?riens.Dans cette deuxi?me partie de th?se, nous introduisons l'unimodalit? des suites finies associ?es aux diff?rentes directions dans le triangle eul?rien. Nous donnons dans un premier temps une interpr?tation combinatoire ainsi que la relation de r?currence des suites associ?es ? la direction (1,t) dans le triangle eul?rien, o? t?1. Ces suites sont les coefficients de polyn?mes appel?s les polyn?mes eul?riens avec succession d'ordre t, qui g?n?ralisent les polyn?mes eul?riens. Nous d?montrons par une bijection entre les permutations et des chemins nord-est ?tiquet?s que ces suites sont log-concaves et donc unimodales. Puis nous prouvons que les suites associ?es aux directions (r,q), o? r est un entier positif et q est un entier, tel que r+q?0, sont aussi log-concaves et donc unimodales

  • Titre traduit

    Combinatorial developments on tableaux and eulerian numbers


  • Résumé

    This thesis is at the crossroads of enumerative, algebraic and bijective combinatorics. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, uses algebraic formalism to deal with combinatorial questions.After a reminder about classical notions of combinatoics and algebraic structures, We introduce new combinatorial objects called the shifted domino tableaux, these objects can be seen as a shifted analog of domino tableaux or as an extension of shifted Young tableaux. We prove that these objects are in bijection with pairs of shifted Young tableaux. This bijection shows that shifted domino tableaux can be seen as elements of the super shifted plactic monoid, which is the shifted analog of the super plactic monoid. We also show that the sum over all shifted domino tableaux of a fixed shape describe a product of two P-Schur functions, and by taking a different kind of shifted domino tableaux we describe a product of two Q-Schur functions. We also propose two insertion algorithms for shifted domino tablaux, analogous to Haiman's left-right and mixed insertion algorithms. Still in the field of bijective combinatorics, we are interested in the second part of our work with bijections related to statistics on permutations and Eulerian numbers.In this second part of this thesis, we introduce the unimodality of finite sequences associated to different directions in the Eulerian triangle. We first give a combinatorial interpretations as well as recurrence relations of sequences associated with the direction (1, t) in the Eulerian triangle, where t?1. These sequences are the coefficients of polynomials called the t-successive eulerian polynomials, which generalize the eulerian polynomials. We prove using a bijection between premutations and north-east lattice paths that those sequences are unomodal. Then we prove that the sequences associated with the directions (r, q), where r is a positive integer and q is an integer such that r + q ? 0, are also log-concave and therefore unimodal


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