Étude et développement de méthodes numériques d’ordre élevé pour la résolution des équations différentielles ordinaires (EDO) : Applications à la résolution des équations d'ondes acoustiques et électromagnétiques

par Mamadou N'Diaye

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Hélène Barucq et de Marc Duruflé.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions et développons différentes familles de schémas d’intégration en temps pour les EDO linéaires. Dans la première partie, après avoir introduit les définitions et propriétés utilisées pour construire les schémas en temps, nous présentons deux méthodes de discrétisation en espace et une revue des schémas de Runge-Kutta (RK) qui sont couramment utilisés dans la littérature. Dans la seconde partie on présente une méthodologie pour construire deux familles de schémas A-stable pour un ordre quelcomque. Puis on fournit des schémas explicites, construits en maximisant leur nombre CFL pour un profil de spectre donné. Ces schémas explicites sont ensuite combinés aux schémas implicites A-stable, pour construire des schémas localement implicites que nous décrivons. En plus des tests de validations des schémas pour des problèmes en dimension un et deux de l’espace, nous présentons des résultats numériques obtenus en résolvant des problèmes de propagation d’ondes acoustiques et électromagnétiques en dimensions trois dans la troisième partie.

  • Titre traduit

    On the study and development of high-order time integration schemes for ODEs applied to acoustic and electromagnetic wave propagation problems


  • Résumé

    In this thesis, we study and develop different families of time integration schemes for linear ODEs. After presenting the space discretisation methods and a review of classical Runge-Kutta schemes in the first part, we construct high-order A-stable time integration schemes for an arbitrary order with low-dissipation and low-dispersion effects in the second part. Then we develop explicit schemes with an optimal CFL number for a typical profile of spectrum. The obtained CFL number and the efficiency on the typical profile for each explicit scheme are given. Pursuing our aim, we propose a methodology to construct locally implicit methods of arbitrary order. We present the locally implicit methods obtained from the combination of the A-stable implicit schemes we have developed and explicit schemes with optimal CFL number. We use them to solve the acoustic wave equation and provide convergence curves demonstrating the performance of the obtained schemes. In addition of the different 1D and 2D validation tests performed while solving the acoustic wave equation, we present numerical simulation results for 3D acoustic wave and the Maxwell’s equations in the last part.


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