Instabilités de poutres hyper-élastiques : du flambement étendu aux motifs localisés

par Claire Lestringant

Thèse de doctorat en Mécanique

Sous la direction de Basile Audoly.

Soutenue le 13-07-2017

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mécaniques, acoustique, électronique et robotique de Paris , en partenariat avec Institut Jean Le Rond d'Alembert (laboratoire) .

Le président du jury était Patrick Ballard.

Le jury était composé de Lev Truskinovsky, Corrado Maurini.

Les rapporteurs étaient Pasquale Ciarletta, Michel Potier-Ferry.


  • Résumé

    Ce travail de thèse porte sur les instabilités dans les structures minces hyperélastiques. Nous analysons les mécanismes de sélection du motif de flambement dans un solide prismatique fortement pré-contraint. Pour ce système, le modèle de poutre classique d'Euler-Bernoulli n'est pas pertinent du fait de cette forte précontrainte et il est nécessaire de recourir à une description 3-d pour expliquer l'apparition de modes instables de petite longueur d'onde. Notre analyse, fondée sur la théorie de l'élasticité finie incrémentale, montre que la longueur typique du motif de flambement est sélectionnée par l'importance relative de la pré-contrainte et du rapport d'aspect du solide prismatique. Nous nous interrogeons ainsi sur les limites du modèle classique et proposons une piste de réflexion pour la construction de nouveaux modèles. Celle-ci repose sur un développement à deux échelles combiné aux équations d'équilibre du système formulées sous forme faible. Il est alors facile de résoudre les équations exactes à chaque ordre, ce qui donne accès à la cinématique complète du système. Nous mettons en œuvre cette méthode pour l'exemple simple d'un barreau homogène en compression, ce qui nous permet d'établir le modèle classique d'Euler-Bernoulli à partir des équations de l'élasticité 3-d. La dernière partie de ce travail de thèse porte sur l'étude du flambement de systèmes invariants d'échelle : l'étude expérimentale et numérique de la compression d'un prisme à base triangulaire met en lumière une transition inédite d'un mode de flambement étendu vers des motifs localisés.

  • Titre traduit

    Instabilities in hyper-elastic beams : from extended buckling to localized patterns


  • Résumé

    This Ph.D. work deals with buckling instabilities arising in thin hyper-elastic structures. We focus on instabilities arising in a prismatic solid submitted to finite incompatible pre-strains. We observe that the traditional 1-d Euler-Bernoulli beam model is not applicable to such a system because of the finite inhomogeneous pre-stress. The latter triggers short-wavelength instabilities that are note described by the classical 1-d models. We rely on the 3-d elasticity theory and propose a quantitative criterion on the ratio between the pre-stress and the cross-sectional aspect-ratio of the prismatic solid, that predicts the typical wavelength of the buckling pattern. This work questions the validity of classical 1-d models and suggests that extensions of these models are possible. We propose a method for the systematic derivation of reduced models. It relies on asymptotic expansions of the variational formulation of the equilibrium equations, starting from the complete expression of the energy. In this framework, kinematics can be entirely determined by solving the exact equations, order by order. We successfully apply this method to a homogeneous and isotropic beam submitted to a homogeneous compression and recover the classical Euler-Bernoulli beam model. In a last part of the manuscript we investigate the transition from extended wrinkling to localized creasing in a scale-invariant system made of a prismatic solid with a triangular cross-section, both experimentally and numerically.


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