Calcul de groupes de classes d'un corps de nombres et applications à la cryptologie

par Alexandre Gélin

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Antoine Joux et de A. K. Lenstra.

Soutenue le 22-09-2017

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Informatique, télécommunications et électronique (Paris) , en partenariat avec Laboratoire d'Informatique de Paris 6 (laboratoire) .

Le président du jury était Karim Belabas.

Le jury était composé de Louis Goubin, Ariane Mézard, Nigel Smart.

Les rapporteurs étaient Andreas Enge, Claus Fieker.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons au calcul du groupe de classes d'un corps de nombres. Nous débutons par décrire un algorithme de réduction du polynôme de définition d'un corps de nombres. Il existe une infinité de polynômes qui définissent un corps de nombres fixé, avec des coefficients arbitrairement gros. Notre algorithme calcule celui qui a les plus petits coefficients. L'avantage de connaître un petit polynôme de définition est qu'il simplifie les calculs entre éléments de ce corps de nombres, en impliquant des quantités plus petites. En outre, la connaissance d'un tel polynôme permet l'utilisation d'algorithmes plus efficaces que dans le cas général pour calculer le groupe de classes. L'algorithme général pour calculer la structure du groupe de classes repose sur la réduction d'idéaux, vus comme des réseaux. Nous décrivons et simplifions l'algorithme présenté par Biasse et Fieker en 2014 à ANTS et approfondissons l'analyse de complexité. Nous nous sommes aussi intéressés au cas des corps de nombres définis par un polynôme à petits coefficients. Nous décrivons un algorithme similaire au crible par corps de nombres (NFS) dont la complexité en fonction des paramètres du corps de nombres peut atteindre L(1/3). Enfin, nos algorithmes peuvent être adaptés pour résoudre un problème lié : le Problème de l'Idéal Principal. Étant donné n'importe quelle base d'un idéal principal (généré par un seul élément), nous sommes capables de retrouver ce générateur. Cette application de nos algorithmes fournit une attaque efficace contre certains schémas de chiffrement homomorphe basés sur ce problème.

  • Titre traduit

    Class group computations in number fields and applications to cryptology


  • Résumé

    In this thesis, we focus on class group computations in number fields. We start by describing an algorithm for reducing the size of a defining polynomial of a number field. There exist infinitely many polynomials that define a specific number field, with arbitrarily large coefficients, but our algorithm constructs the one that has the absolutely smallest coefficients. The advantage of knowing such a ``small'' defining polynomial is that it makes calculations in the number field easier because smaller values are involved. In addition, thanks to such a small polynomial, one can use specific algorithms that are more efficient than the general ones for class group computations. The generic algorithm to determine the structure of a class group is based on ideal reduction, where ideals are viewed as lattices. We describe and simplify the algorithm presented by Biasse and Fieker in 2014 at ANTS and provide a more thorough complexity analysis for~it. We also examine carefully the case of number fields defined by a polynomial with small coefficients. We describe an algorithm similar to the Number Field Sieve, which, depending on the field parameters, may reach the hope for complexity L(1/3). Finally, our results can be adapted to solve an associated problem: the Principal Ideal Problem. Given any basis of a principal ideal (generated by a unique element), we are able to find such a generator. As this problem, known to be hard, is the key-point in several homomorphic cryptosystems, the slight modifications of our algorithms provide efficient attacks against these cryptographic schemes.


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