Chirurgies de Dehn sur des variétés CR-sphériques et variétés de caractères pour les formes réelles de SL(n,C)

par Miguel Acosta

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Antonin Guilloux et de Martin Deraux.

Le président du jury était Gilles Courtois.

Le jury était composé de Fanny Kassel, Joan Porti.

Les rapporteurs étaient Jean-Marc Schlenker, Olivier Guichard.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on s'intéresse à la construction et à la déformation de structures CR-sphériques sur des variétés de dimension 3. Pour le faire, on étudie en détail l'espace hyperbolique complexe, son groupe d'isométries et des objets géométriques liés à cet espace. On montre un théorème de chirurgie qui permet de construire des structures CR-sphériques sur des chirurgies de Dehn d'une variété à pointe portant une structure CR-sphérique : il s'applique aux structures de Deraux-Falbel sur le complémentaire du noeud de huit et à celles de Schwartz et de Parker-Will sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. On définit aussi les variétés de caractères de groupes de type fini pour les formes réelles de SL(n,C) comme des sous-ensembles de la variété des caractères SL(n,C) fixes par des involutions anti-holomorphes. Ces variétés de caractères, dont on étudie en détail l'exemple du groupe Z/3Z*Z/3Z, fournissent des espaces de déformation pour des représentations d'holonomie de structures CR-sphériques. À l'aide de ces espaces de déformations, et des outils liés aux sphères visuelles dans CP^2, on construit une déformation explicite du domaine de Ford construit par Parker et Will et qui donne une uniformisation CR-sphérique sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. Cette déformation fournit une infinité d'uniformisations CR-sphériques sur une chirurgie de Dehn particulière de cette variété, et des uniformisations CR-sphériques sur une infinité de chirurgies de Dehn sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead.

  • Titre traduit

    Dehn surgeries on spherical-CR manifolds and character varieties for the real forms of SL(n,C)


  • Résumé

    In this thesis, we study the construction and deformation of spherical-CR structures on three dimensional manifolds. In order to do it, we give a detailed description of the complex hyperbolic plane, its group of isometries and some geometric objects attached to this space such as bisectors and extors. We show a surgery theorem which allows to construct spherical-CR on Dehn surgeries of a cusped spherical-CR manifold : this theorem can be applied for the Deraux-Falbel structure on the figure eight knot complement and for Schwartz's and Parker-Will structures on the Whitehead link complement. We also define the character varieties for a real form of SL(n,C) for finitely generated groups as some subsets of the SL(n,C)-character variety invariant under an anti-holomorphic involution. We study in detail the example of the group Z/3Z*Z/3Z. These character varieties give deformation spaces for the holonomy representations of spherical-CR structures. With these deformation spaces and tools related to the visual spheres of a point in CP^2, we construct an explicit deformation of the Ford domain constructed by Parker and Will, which gives a spherical-CR uniformisation of the Whitehead link complement. This deformation provides infinitely many spherical-CR uniformisations of a particular Dehn surgery of the manifold, and spherical-CR unifomisations for infinitely many Dehn surgeries of the Whitehead link complement.


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