Exposants de Lyapunov d’opérateurs de Schrödinger ergodiques

par Florian Metzger

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Raphaël Krikorian.

Soutenue le 08-06-2017

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (laboratoire) .

Le président du jury était Viviane Baladi.

Le jury était composé de Anne Boutet de Monvel, Bertrand Deroin, Carlos Matheus.

Les rapporteurs étaient Kristian Bjerklöv, Hermann Schulz-Baldes.


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est de traiter de deux aspects différents de la théorie de l'exposant de Lyapunov de cocycles de Schrödinger définis par une dynamique ergodique. Dans la première partie, on s'intéresse aux estimées de grandes déviations de type Bourgain & Goldstein pour des cocycles quasi-périodiques, puis pour ceux définis par le doublement de l'angle. Après avoir montré que seule une estimée par dessus sur une bande complexe est nécessaire pour avoir la minoration, on redémontre cette inégalité pour une dynamique quasi-périodique en utilisant des techniques de mouvement brownien en lien avec des fonctions sous-harmoniques. Ensuite on adapte la méthode au cas du doublement de l'angle pour lequel on prouve des estimées de grandes déviations sur les branches inverses de cette dynamique. Dans la deuxième partie sont étudiés des cocycles de Schrödinger dont la dynamique est une somme de dynamiques quasi-périodique et aléatoire. On démontre que, dans le régime perturbatif, les développements asymptotiques de l'exposant de Lyapunov attaché à ces cocycles sont similaires à ceux déjà démontrés dans le cas aléatoire par Figotin & Pastur ou Sadel & Schulz-Baldes. L'analyse se fait en fonction du caractère diophantien ou résonant de l'énergie par rapport à la fréquence diophantienne de la partie quasi-périodique du potentiel.

  • Titre traduit

    Lyapunov exponents of ergodic Schrödinger operators


  • Résumé

    In this thesis we are interested in the Lyapunov exponent of ergodic Schrödinger cocycles. These cocycles occur in the analysis of solutions to the Schrödinger equation where the potential is defined with ergodic dynamics. We study two distinct aspects related to the the Lyapunov exponent for different kinds of dynamics. First we focus on a large deviation theorem for quasi-periodic cocycles and then for potentials defined by the doubling map. We prove that estimates of Bourgain & Goldstein type are granted if an upper estimate involved in the theorem is true on a strip of the complex plane. Then we establish a new technique to prove this upper bound in the quasi-periodic setting, based on subharmonic arguments suggested by Avila, Jitomirskaya & Sadel. We adapt afterwards the method to the doubling map and prove a large deviation theorem for the inverse branches of this dynamics. In the second part, we establish an asymptotic development similar to the results of Figotin & Pastur and Sadel & Schulz-Baldes for the Lyapunov exponent of Schrödinger cocycles at small coupling when the potential is a mixture of quasi-periodic and random. The analysis distinguishes the cases when the energy is either diophantine or resonant with respect to the frequency of the quasi-periodic part of the potential.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie. Bibliothèque électronique.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.