Temps de premier passage de processus non-markoviens

par Nicolas Levernier

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Olivier Bénichou et de Raphaël Voituriez.

Soutenue le 04-07-2017

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Physique en Île-de-France (Paris) , en partenariat avec Laboratoire Jean Perrin (laboratoire) .

Le jury était composé de Eric Bertin, Jean-François Joanny, Julien Randon-Furling.

Les rapporteurs étaient Heiko Rieger, Eric Bertin.


  • Résumé

    Cette thèse cherche à quantifier le temps de premier passage (FPT) d'un marcheur non-markovien sur une cible. La première partie est consacrée au calcul du temps moyen de premier passage (MFPT) pour différents processus non-markoviens confinés, pour lesquels les variables cachées sont connues. Notre méthode, qui adapte un formalisme existant, repose sur la détermination de la distribution des variables cachées au moment du FPT. Nous étendons ensuite ces idées à processus non-markoviens confinés généraux, sans introduire les variables cachées - en général inconnues. Nous montrons que le MFPT est entièrement déterminé par la position du marcheur dans le futur du FPT. Pour des processus gaussiens à incréments stationnaires, cette position est très proche d'une processus gaussien, hypothèse qui permet de déterminer ce processus de manière auto-cohérente, et donc de calculer le MFPT. Nous appliquons cette théorie à différents exemples en dimension variée, obtenant des résultats très précis quantitativement. Nous montrons également que notre théorie est exacte perturbativement autour d'une marche markovienne. Dans une troisième partie, nous explorons l'influence du vieillissement sur le FPT en confinement, et prédisons la dépendance en les paramètres géométriques de la distribution de ce FPT, prédictions vérifiées sur maints exemples. Nous montrons en particulier qu'une non-linéarité du MFPT avec le volume confinant est une caractéristique d'un processus vieillissant. Enfin, nous étudions les liens entre les problèmes avec et sans confinement. Notre travail permet entre autre de d'estimer l'exposant de persistance associé à des processus gaussiens non-markoviens vieillissant.

  • Titre traduit

    First-passage time of non-markovian processes


  • Résumé

    The aim of this thesis is the evaluation of the first-passage time (FPT) of a non-markovian walker over a target. The first part is devoted to the computation of the mean first-passage time (MFPT) for different non-markovien confined processes, for which hidden variables are explicitly known. Our methodology, which adapts an existing formalism, relies on the determination of the distribution of the hidden variables at the instant of FPT. Then, we extend these ideas to the case of general non-markovian confined processes, without introducing the -often unkown- hidden variables. We show that the MFPT is entirely determined by the position of the walker in the future of the FPT. For gaussian walks with stationary increments, this position can be accurately described by a gaussian process, which enable to determine it self-consistently, and thus to find the MFPT. We apply this theory on many examples, in various dimensions. We show moreover that this theory is exact perturbatively around markovian processes. In the third part, we explore the influence of aging properties on the the FPT in confinement, and we predict the dependence of its statistic on geometric parameters. We verify these predictions on many examples. We show in particular that the non-linearity of the MFPT with the confinement is a hallmark of aging. Finally, we study some links between confined and unconfined problems. Our work suggests a promising way to evaluate the persistence exponent of non-markovian gaussian aging processes.


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