Numerical methods for optimal control problems with biological applications

par Giulia Fabrini

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Luis Almeida, Patrizia Bagnerini et de Mauro Gaggero.

Soutenue le 26-04-2017

à Paris 6 en cotutelle avec l'Università degli studi (Gênes, Italie) , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire Jacques-Louis Lions (laboratoire) .

Le président du jury était Benoit Perthame.

Le jury était composé de Tommaso Lorenzi, Maurizio Falcone.

Les rapporteurs étaient Olivier Saut.

  • Titre traduit

    Méthodes numériques des problèmes de contrôle optimal avec des applications en biologie


  • Résumé

    Cette thèse se développe sur deux fronts: nous nous concentrons sur les méthodes numériques des problèmes de contrôle optimal, en particulier sur le Principe de la Programmation Dynamique et sur le Model Predictive Control (MPC) et nous présentons des applications de techniques de contrôle en biologie. Dans la première partie, nous considérons l'approximation d'un problème de contrôle optimal avec horizon infini, qui combine une première étape, basée sur MPC permettant d'obtenir rapidement une bonne approximation de la trajectoire optimal, et une seconde étape, dans la quelle l¿équation de Bellman est résolue dans un voisinage de la trajectoire de référence. De cette façon, on peux réduire une grande partie de la taille du domaine dans lequel on résout l¿équation de Bellman et diminuer la complexité du calcul. Le deuxième sujet est le contrôle des méthodes Level Set: on considère un problème de contrôle optimal, dans lequel la dynamique est donnée par la propagation d'un graphe à une dimension, contrôlé par la vitesse normale. Un état finale est fixé, l'objectif étant de le rejoindre en minimisant une fonction coût appropriée. On utilise la programmation dynamique grâce à une réduction d'ordre de l'équation utilisant la Proper Orthogonal Decomposition. La deuxième partie est dédiée à l'application des méthodes de contrôle en biologie. On présente un modèle décrit par une équation aux dérivées partielles qui modélise l'évolution d'une population de cellules tumorales. On analyse les caractéristiques du modèle et on formule et résout numériquement un problème de contrôle optimal concernant ce modèle, où le contrôle représente la quantité du médicament administrée.


  • Résumé

    This thesis is divided in two parts: in the first part we focus on numerical methods for optimal control problems, in particular on the Dynamic Programming Principle and on Model Predictive Control (MPC), in the second part we present some applications of the control techniques in biology. In the first part of the thesis, we consider the approximation of an optimal control problem with an infinite horizon, which combines a first step based on MPC, to obtain a fast but rough approximation of the optimal trajectory and a second step where we solve the Bellman equation in a neighborhood of the reference trajectory. In this way, we can reduce the size of the domain in which the Bellman equation can be solved and so the computational complexity is reduced as well. The second topic of this thesis is the control of the Level Set methods: we consider an optimal control, in which the dynamics is given by the propagation of a one dimensional graph, which is controlled by the normal velocity. A final state is fixed and the aim is to reach the trajectory chosen as a target minimizing an appropriate cost functional. To apply the Dynamic Programming approach we firstly reduce the size of the system using the Proper Orthogonal Decomposition. The second part of the thesis is devoted to the application of control methods in biology. We present a model described by a partial differential equation that models the evolution of a population of tumor cells. We analyze the mathematical and biological features of the model. Then we formulate an optimal control problem for this model and we solve it numerically.

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