Théorie spectrale pour des applications de Poincaré aléatoires

Spectral theory for random Poincaré maps

• Auteur / Autrice : Manon Baudel
• Direction : Nils Berglund
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/12/2017
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Jury : Président / Présidente : Tony Lelièvre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nils Berglund, Tony Lelièvre, Luc Hillairet, Eva Löcherbach, Nicolas Champagnat, Kilian Raschel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formule de Feynman-Kac

Analyse harmonique (mathématiques)

Théorie spectrale (mathématiques)

Distribution (théorie des probabilités)

Markov, Processus de

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Équation différentielle stochastique

Orbite périodique

Application de Poincaré aléatoire

Chaîne de Markov

Métastabilité

Distribution quasi-stationnaire

Transformée harmonique de Doob

Théorie spectrale

Théorie de Fredholm

Problème de première sortie

Stochastic differential equation

Periodic orbit

Random Poincaré map

Markov chain

Metastability

Quasistationary distribution

Doob h-transform

Spectral theory

Fredholm theory

First-passage time

Résumé

Nous nous intéressons à des équations différentielles stochastiques obtenues en perturbant par un bruit blanc des équations différentielles ordinaires admettant N orbites périodiques asymptotiquement stables. Nous construisons une chaîne de Markov à temps discret et espace d’états continu appelée application de Poincaré aléatoire qui hérite du comportement métastable du système. Nous montrons que ce processus admet exactement N valeurs propres qui sont exponentiellement proches de 1 et nous donnons des expressions pour ces valeurs propres et les fonctions propres associées en termes de fonctions committeurs dans les voisinages des orbites périodiques. Nous montrons également que ces valeurs propres sont bien séparées du reste du spectre. Chacune de ces valeurs propres exponentiellement proche de 1 est également reliée à un temps d’atteinte de ces voisinages. De plus, les N valeurs propres exponentiellement proches de 1 et fonctions propres à gauche et à droite associées peuvent être respectivement approchées par des valeurs propres principales, des distributions quasi-stationnaires, et des fonctions propres principales à droite de processus tués quand ils atteignent ces voisinages. Les preuves reposent sur une représentation de type Feynman–Kac pour les fonctions propres, la transformée harmonique de Doob, la théorie spectrale des opérateurs compacts et une propriété de type équilibré détaillé satisfaite par les fonctions committeurs.

We consider stochastic differential equations, obtained by adding weak Gaussian white noise to ordinary differential equations admitting N asymptotically stable periodic orbits. We construct a discrete-time,continuous-space Markov chain, called a random Poincaré map, which encodes the metastable behaviour of the system. We show that this process admits exactly N eigenvalues which are exponentially close to 1,and provide expressions for these eigenvalues and their left and right eigenfunctions in terms of committorfunctions of neighbourhoods of periodic orbits. We also provide a bound for the remaining part of the spectrum. The eigenvalues that are exponentially close to 1 and the right and left eigenfunctions are well-approximated by principal eigenvalues, quasistationary distributions, and principal right eigenfunctions of processes killed upon hitting some of these neighbourhoods. Each eigenvalue that is exponentially close to 1is also related to the mean exit time from some metastable neighborhood of the periodic orbits. The proofsrely on Feynman–Kac-type representation formulas for eigenfunctions, Doob’s h-transform, spectral theory of compact operators, and a recently discovered detailed balance property satisfied by committor functions.