Two problems in arithmetic geometry. Explicit Manin-Mumford, and arithmetic Bernstein-Kusnirenko

par César Martinez Metzmeier

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Francesco Amoroso.

Soutenue le 29-09-2017

à Normandie , dans le cadre de École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....) (laboratoire) et de Université de Caen Normandie (établissement de préparation) .

Le président du jury était Gaël Rémond.

Le jury était composé de Francesco Amoroso, Philipp Habegger, Walter Gubler, Martin Sombra.

Les rapporteurs étaient Philipp Habegger, Walter Gubler.

  • Titre traduit

    Deux problèmes en géométrie arithmétique : Manin-Mumford explicite et Bernstein-Kusnirenko arithmétique.


  • Résumé

    Dans la première partie de cette thèse, on présente des bornes supérieures fines pour le nombre de sous-variétés irréductibles de torsion maximales dans une sous-variété du tore complexe algébrique $(\mathbb{C}^{\times})^n$ et d'une variété abélienne. Dans les deux cas, on donne une borne explicite en termes du degré des polynômes définissants et la variété ambiante. De plus, la dépendance en le degré des polynômes est optimale. Dans le cas du tore complexe, on donne aussi une borne explicite en termes du degré torique de la sous-variété. En conséquence de ce dernier résultat, on démontre les conjectures de Ruppert, et Aliev et Smyth pour le nombre de points de torsion isolés dans une hypersurface. Ces conjectures bornent ce nombre en terme, respectivement, du multi-degré et du volume du polytope de Newton d'un polynôme définissant l'hypersurface.Dans la deuxième partie de cette thèse, on présente une borne supérieure pour la hauteur des zéros isolés, dans le tore, d'un système de polynômes de Laurent sur un corps adélique qui satisfait la formule du produit. Cette borne s'exprime en termes des intégrales mixtes des fonctions toit locales associées à la hauteur choisie et le système des polynômes de Laurent. On montre aussi que cette borne est presque optimale dans quelques familles d'exemples. Ce résultat est un analogue arithmétique du théorème de Bern\v{s}tein-Ku\v{s}nirenko.


  • Résumé

    In the first part of this thesis we present sharp bounds on the number of maximal torsion cosets in a subvariety of a complex algebraic torus $(\mathbb{C}^{\times})^n$ and of an Abelian variety. In both cases, we give an explicit bound in terms of the degree of the defining polynomials and the ambient variety. Moreover, the dependence on the degree of the polynomials is sharp. In the case of the complex torus, we also give an effective bound in terms of the toric degree of the subvariety. As a consequence of the latter result, we prove the conjectures of Ruppert, and Aliev and Smyth on the number of isolated torsion points of a hypersurface. These conjectures bound this number in terms of the multidegree and the volume of the Newton polytope of a polynomial defining the hypersurface, respectively.In the second part of the thesis, we present an upper bound for the height of isolated zeros, in the torus, of a system of Laurent polynomials over an adelic field satisfying the product formula. This upper bound is expressed in terms of the mixed integrals of the local roof functions associated to the chosen height function and to the system of Laurent polynomials. We also show that this bound is close to optimal in some families of examples. This result is an arithmetic analogue of the classical Bern\v{s}tein-Ku\v{s}nirenko theorem.


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Informations

  • Sous le titre : Two problems in arithmetic geometry. Explicit Manin-Mumford, and arithmetic Bernstein-Kusnirenko
  • Détails : 1 vol. (129 p.)
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