Thèse soutenue

Mise en évidence de comportements non linéaires pour des systèmes de Schrödinger cubiques couplés
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Auteur / Autrice : Victor Vilaça da Rocha
Direction : Benoît GrébertLaurent Thomann
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 27/06/2017
Etablissement(s) : Nantes
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
Partenaire(s) de recherche : COMUE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Delort
Examinateurs / Examinatrices : Gueorgui Popov, Nikolay Tzvetkov
Rapporteurs / Rapporteuses : Valeria Banica, Nicola Visciglia

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Mots clés libres

Résumé

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L’objectif de ce travail est de proposer une étude de divers comportements non linéaires pour un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées. Selon le choix de l’espace des positions, nous mettons en évidence différents exemples de comportements non linéaires. Dans le premier chapitre, nous introduisons les notions et outils nécessaires à la compréhension de l’enjeu. En particulier, nous justifions ce choix de modèle par des résultats récents sur l’équation de Schrödinger non linéaire. Le second chapitre est dédié à l’étude de ce système sur le tore (une coordonnée périodique). Nous mettons en évidence un échange d’énergie en temps long (mais fini) entre différents modes de Fourier des solutions : c’est l’effet de battement (éventuellement décalé). Le troisième chapitre porte sur l’étude du système sur la droite réelle (une coordonnée euclidienne). Nous mettons en place un résultat de scattering modifié pour obtenir un comportement non linéaire en temps infini. Enfin, dans le quatrième chapitre, nous nous plaçons dans un espace produit (une coordonnée euclidienne et une coordonnée périodique). Nous exhibons alors le résultat principal de cette thèse : un échange d’énergie en temps infini via un résultat de scattering modifié.