Laplaciens non auto-adjoints sur un graphe orienté

par Marwa Balti

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Colette Anné et de Nabila Torki-Hamza.

Soutenue le 20-05-2017

à Nantes en cotutelle avec l'Université de Carthage (Tunisie) , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) , en partenariat avec Université Bretagne Loire (COMUE) et de Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) (laboratoire) .

Le président du jury était Abderrazek Karoui.

Le jury était composé de Nabila Torki-Hamza, Sylvain Golenia.

Les rapporteurs étaient Jamel Ban Amara, Serge Richard.

mots clés

• Inégalités de Cheeger
• Laplacien
• Traitement d'images -- Techniques numériques
• Spectres

Résumé

Cette thèse traite des questions de théorie spectrale des graphes portant sur les opérateurs non auto-adjoints. On considère un Laplacien sur un graphe pondéré orienté avec un poids non symétrique sur les arêtes. On s’intéresse aux différentes propriétés spectrales de ce Laplacien en s’appuyant sur l’étude d’autres opérateurs auto-adjoints pour obtenir des résultats sur son spectre. En outre, on établit des inégalités isopérimétriques relatives à l’image numérique du Laplacien non symétrique. Ces inégalités isopérimétriques servent à montrer l’absence de spectre essentiel de notre Laplacien sur des graphes lourds à l’infini. Ensuite, on définit un opérateur spécial auto-adjoint sous une hypothèse géométrique donnée et on compare son spectre essentiel avec celui du Laplacien non auto-adjoint considéré. Après, on étudie le problème de la monotonicité et de la comparaison des valeurs propres. On examine comment la perturbation de graphe peut affecter les valeurs propres. Notre approche est de prendre des techniques bien connues en dimension finie sur l’analyse matricielle et on cherche à étudier comment elles peuvent être généralisées pour les Laplaciens auto-adjoints de graphe.

Titre traduit

Non self-adjoint Laplacians on a directed graph

Résumé

This thesis deals with spectral graph theory issues relating to questions of spectral theory of non self-adjoint operator. We consider a Laplacian on a directed weighted graph with non symmetric edge weights. We are interested on different spectral properties of the Laplace operator by pressing the study of other self-adjoint operators to deliver results on its spectrum. Moreover we establish isoperimetric inequalities to show the absence of essential spectrum of Laplacian on heavy end directed graphs. Next, we define a special self-adjoint operator in a given special hypothesis and compare its essential spectrum with that of the considered non self-adjoint Laplacian. After, we study the problem of monotonicity and comparison of eigenvalues. We investigate how perturbations of a graph can affect its eigenvalues. Our approach is to take well known techniques from finite dimensional matrix analysis and show how they can be generalized for self-adjoint graph Laplacians.