Analytic Combinatorics in Several Variables : Effective Asymptotics and Lattice Path Enumeration

par Stephen Melczer

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Bruno Salvy et de George Labahn.

Soutenue le 13-06-2017

à Lyon en cotutelle avec l'University of Waterloo (Canada) , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec École normale supérieure de Lyon (établissement opérateur d'inscription) , Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon) (laboratoire) et de Arithmetic and Computing (laboratoire) .

Le président du jury était Jason P. Bell.

Le jury était composé de Bruno Salvy, George Labahn, Jason P. Bell, Sylvie Corteel, Michael Drmota, Eric Schost.

Les rapporteurs étaient Sylvie Corteel, Ira Gessel.

  • Titre traduit

    Combinatoire analytique en plusieurs variables : asymptotique efficace et énumération de chemin de treillis


  • Résumé

    La combinatoire analytique étudie le comportement asymptotique des suites à travers les propriétés analytiques de leurs fonctions génératrices. Ce domaine a conduit au développement d’outils profonds et puissants avec de nombreuses applications. Au delà de la théorie univariée désormais classique, des travaux récents en combinatoire analytique en plusieurs variables (ACSV) ont montré comment calculer le comportement asymptotique d’une grande classe de fonctions différentiellement finies:les diagonales de fractions rationnelles. Cette thèse examine les méthodes de l’ACSV du point de vue du calcul formel, développe des algorithmes rigoureux et donne les premiers résultats de complexité dans ce domaine sous des hypothèses très faibles. En outre, cette thèse donne plusieurs nouvelles applications de l’ACSV à l’énumération des marches sur des réseaux restreintes à certaines régions: elle apporte la preuve de plusieurs conjectures ouvertes sur les comportements asymptotiques de telles marches,et une étude détaillée de modèles de marche sur des réseaux avec des étapes pondérées.


  • Résumé

    The field of analytic combinatorics, which studies the asymptotic behaviour ofsequences through analytic properties of their generating functions, has led to thedevelopment of deep and powerful tools with applications across mathematics and thenatural sciences. In addition to the now classical univariate theory, recent work in thestudy of analytic combinatorics in several variables (ACSV) has shown how to deriveasymptotics for the coefficients of certain D-finite functions represented by diagonals ofmultivariate rational functions. This thesis examines the methods of ACSV from acomputer algebra viewpoint, developing rigorous algorithms and giving the firstcomplexity results in this area under conditions which are broadly satisfied.Furthermore, this thesis gives several new applications of ACSV to the enumeration oflattice walks restricted to certain regions. In addition to proving several openconjectures on the asymptotics of such walks, a detailed study of lattice walk modelswith weighted steps is undertaken.


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