Équations cinétiques stochastiques et déterministes dans le contexte des mathématiques appliquées à la biologie

par Nils Caillerie

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Julien Vovelle et de Vincent Calvez.

Soutenue le 05-07-2017

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec Université Claude Bernard (Lyon) (établissement opérateur d'inscription) et de ICJ - Institut Camille Jordan (Rhône) (laboratoire) .

Le président du jury était Anne de Bouard.

Le jury était composé de Sylvie Benzoni-Gavage, Sepideh Mirrahimi, Élisabeth Mironescu.

Les rapporteurs étaient Nicolas Champagnat, Jérôme Coville.


  • Résumé

    Cette thèse étudie des modèles mathématiques inspirés par la biologie. Plus précisément, nous nous concentrons sur des équations aux dérivées partielles cinétiques. Les champs d'application des équations cinétiques sont nombreux mais nous nous concentrons ici sur des phénomènes de propagation d'espèces invasives, notamment la bactérie Escherichia coli et le crapaud buffle Rhinella marina.La première partie de la thèse ne présente pas de résultats mathématiques. Nous construisons plusieurs modélisations pour la dispersion à grande échelle du crapaud buffle en Australie. Nous confrontons ces mêmes modèles à des données statistiques multiples (taux de fécondité, taux de survie, comportements dispersifs) pour mesurer leur pertinence. Ces modèles font intervenir des processus à sauts de vitesses et des équations cinétiques.Dans la seconde partie, nous étudions des phénomènes de propagation dans des modèles cinétiques plus simples. Nous illustrons plusieurs méthodes pour établir mathématiquement des formules de vitesse de propagation dans ces modèles. Cette partie nous amène à établir des résultats de convergence d'équations cinétiques vers des équations de Hamilton-Jacobi par la méthode de la fonction test perturbée. Nous montrons également comment le formalisme Hamilton-Jacobi permet de trouver des résultats de propagation et enfin, nous construisons des solutions en ondes progressives pour un modèle de transport-réaction. Dans la dernière partie, nous établissons un résultat de limite de diffusion stochastique pour une équation cinétique aléatoire. Pour ce faire, nous adaptons la méthode de la fonction test perturbée sur la formulation d'une EDP stochastique en terme de générateurs infinitésimaux.La thèse comporte également une annexe qui expose les données trajectorielles des crapauds dont nous nous servons en première partie."

  • Titre traduit

    Stochastic and deterministic kinetic equations in the context of mathematics applied to biology


  • Résumé

    In this thesis, we study some biology inspired mathematical models. More precisely, we focus on kinetic partial differential equations. The fields of application of such equations are numerous but we focus here on propagation phenomena for invasive species, the Escherichia coli bacterium and the cane toad Rhinella marina, for example. The first part of this this does not establish any mathematical result. We build several models for the dispersion of the cane toad in Australia. We confront those very models to multiple statistical data (birth rate, survival rate, dispersal behaviors) to test their validity. Those models are based on velocity-jump processes and kinetic equations. In the second part, we study propagation phenomena on simpler kinetic models. We illustrate several methods to mathematically establish propagation speed in this models. This part leads us to establish convergence results of kinetic equations to Hamilton-Jacobi equations by the perturbed test function method. We also show how to use the Hamilton-Jacobi framework to establish spreading results et finally, we build travelling wave solutions for reaction-transport model. In the last part, we establish a stochastic diffusion limit result for a kinetic equation with a random term. To do so, we adapt the perturbed test function method on the formulation of a stochastic PDE in term of infinitesimal generators. The thesis also contains an annex which presents the data on toads’ trajectories used in the first part."


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