Déformations libres de contours pour l’optimisation de formes et application en électromagnétisme

Freeform method for shape optimization problems and application to electromagnetism

• Auteur / Autrice : Pierre Bonnelie
• Direction : Paul Armand, Stéphane Bila, Olivier Ruatta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 13/02/2017
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Armand, Stéphane Bila, Olivier Ruatta, Didier Auroux, Jacques-Arthur Weil, Fabien Caubet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Jouve, Frédéric Messine

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation topologique

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Optimisation de formes

Optimisation géométrique

Optimisation topologique

Courbe de Bézier

Filtre électromagnétique

Direction d'objets immergés

Shape optimization

Geometric optimization

Topology optimization

Bezier curves

Electromagnetic filter design

Objects detection

Résumé

Dans cette thèse nous développons une technique de déformation pour l'optimisation de formes. Les formes sont représentées par leur frontière, paramétrée par des courbes de Bézier par morceaux. En tant que courbes polynomiales, elles sont définies par leurs coefficients que l'on appelle plutôt points de contrôle. Bouger les points de contrôle revient à modifier la courbe et donc déplacer la frontière des formes. Dans un contexte d'optimisation de formes, ce sont alors les points de contrôle qui sont les variables du problème et l'on a transformé ce dernier en un problème d'optimisation paramétrique. Notre méthode de déformation consiste en un premier temps à paramétrer les frontières par des courbes de Bézier comme indiqué plus haut et dans un second temps à calculer une déformation des points de contrôle à partir d'une direction de descente de la fonction objectif. Notre méthode est de nature géométrique mais l'on propose un moyen de changer la topologie des formes en mesurant la distance entre les points de contrôle : on peut scinder une forme en deux ou inversement en réunir deux en une. Nous avons testé la méthode sur trois problèmes qui sont la conception d'un filtre micro-ondes, la détection d'inclusions et les trajectoires optimales.

We develop a deformation technique for shape optimization problems. The shapes are described only by their boundary, parameterized by piecewise Bézier curves. They are polynomial curves hence entirely defined by their coefficients which are called control points. By moving these control points the curves change and so is the boundary of the shape. Used in a shape optimization problem, the control points become the optimization variables meaning that the problem is a parametric optimization problem. Our method consists in first parameterizing the boundary of a shape by Bézier curves as stated above and then compute a deformation of the control points from a descent direction for the objective function. The method is almost purely geometric but we add a way to include topological changes by diving a shape into two or conversly merging two shapes into one. We tested our method on three particular shape optimization problems which are microwave filter design, inclusions detection and optimal trajectories.