Thèse soutenue

Formalité opéradique et homotopie des espaces de configuration
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Najib Idrissi Kaïtouni
Direction : Benoit Fresse
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 17/11/2017
Etablissement(s) : Lille 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

FR

Mots clés contrôlés

Mots clés libres

Résumé

FR  |  
EN

Dans une première partie, nous étudions l’opérade SC2 "Swiss-Cheese" de Voronov, qui gouverne l’action d’une algèbre D2 sur une algèbre D1. Nous construisons un modèle en groupoïdes de cette opérade et nous décrivons les algèbres sur ce modèle de manière similaire à la description classique des algèbres sur H*(SC). Nous étendons notre modèle en un modèle rationnel dépendant d’un associateur de Drinfeld, et nous le comparons au modèle qui existerait si l’opérade SC était formelle. Dans une seconde partie, nous étudions les espaces de configurations des variétés compactes, lisses, sans bord et simplement connexes. Nous démontrons sur R une conjecture de Lambrechts–Stanley qui décrit un modèle de tels espaces de configurations, avec comme corollaire leur invariance homotopique réelle. En nous fondant sur la preuve par Kontsevich de la formalité des opérades Dn, nous obtenons en outre que ce modèle est compatible avec l’action de l’opérade de Fulton–MacPherson quand la variété est parallélisée. Cela nous permet de calculer explicitement l’homologie de factorisation d’une telle variété. Enfin, dans une troisième partie, nous élargissons ce résultat à une large classe de variétés à bord. Nous utilisons d’abord une dualité de Poincaré–Lefschetz au niveau des chaînes pour calculer l’homologie des espaces de configurations de ces variétés, puis nous reprenons les méthodes du second chapitre pour obtenir le modèle, qui est compatible avec l’action de l’opérade Swiss-Cheese SCn.