La décomposition en polynôme du chaos pour l'amélioration de l'assimilation de données ensembliste en hydraulique fluviale

par Nabil El moçayd

Thèse de doctorat en Surfaces Interfaces Continentales Hydrologie

Sous la direction de Olivier Thual et de Sophie Ricci.

Le président du jury était Clémentine Prieur.

Le jury était composé de Olivier Thual, Jacques Sainte-Marie, Driss Ouazar, Sylvain Biancamaria, Cédric Goeury.

Les rapporteurs étaient Clémentine Prieur, Jacques Sainte-Marie, Driss Ouazar.


  • Résumé

    Ce travail porte sur la construction d'un modèle réduit en hydraulique fluviale avec une méthode de décomposition en polynôme du chaos. Ce modèle réduit remplace le modèle direct afin de réduire le coût de calcul lié aux méthodes ensemblistes en quantification d'incertitudes et assimilation de données. Le contexte de l'étude est la prévision des crues et la gestion de la ressource en eau. Ce manuscrit est composé de cinq parties, chacune divisée en chapitres. La première partie présente un état de l'art des travaux en quantification des incertitudes et en assimilation de données dans le domaine de l'hydraulique ainsi que les objectifs de la thèse. On présente le cadre de la prévision des crues, ses enjeux et les outils dont on dispose pour prévoir la dynamique des rivières. On présente notamment la future mission SWOT qui a pour but de mesurer les hauteurs d'eau dans les rivières avec un couverture globale à haute résolution. On précise notamment l'apport de ces mesures et leur complémentarité avec les mesures in-situ. La deuxième partie présente les équations de Saint-Venant, qui décrivent les écoulements dans les rivières, ainsi qu'une discrétisation numérique de ces équations, telle qu'implémentée dans le logiciel Mascaret-1D. Le dernier chapitre de cette partie propose des simplifications des équations de Saint-Venant. La troisième partie de ce manuscrit présente les méthodes de quantification et de réduction des incertitudes. On présente notamment le contexte probabiliste de la quantification d'incertitudes et d'analyse de sensibilité. On propose ensuite de réduire la dimension d'un problème stochastique quand on traite de champs aléatoires. Les méthodes de décomposition en polynômes du chaos sont ensuite présentées. Cette partie dédiée à la méthodologie s'achève par un chapitre consacré à l'assimilation de données ensemblistes et à l'utilisation des modèles réduits dans ce cadre. La quatrième partie de ce manuscrit est dédiée aux résultats. On commence par identifier les sources d'incertitudes en hydraulique que l'on s'attache à quantifier et réduire par la suite. Un article en cours de révision détaille la validation d'un modèle réduit pour les équations de Saint-Venant en régime stationnaire lorsque l'incertitude est majoritairement portée par les coefficients de frottement et le débit à l'amont. On montre que les moments statistiques, la densité de probabilité et la matrice de covariances spatiales pour la hauteur d'eau sont efficacement et précisément estimés à l'aide du modèle réduit dont la construction ne nécessite que quelques dizaines d'intégrations du modèle direct. On met à profit l'utilisation du modèle réduit pour réduire le coût de calcul du filtre de Kalman d'Ensemble dans le cadre d'un exercice d'assimilation de données synthétiques de type SWOT. On s'intéresse précisément à la représentation spatiale de la donnée telle que vue par SWOT: couverture globale du réseau, moyennage spatial entre les pixels observés. On montre notamment qu'à budget de calcul donné les résultats de l'analyse d'assimilation de données qui repose sur l'utilisation du modèle réduit sont meilleurs que ceux obtenus avec le filtre classique. On s'intéresse enfin à la construction du modèle réduit en régime instationnaire. On suppose ici que l'incertitude est liée aux coefficients de frottement. Il s'agit à présent de juger de la nécessité du recalcul des coefficients polynomiaux au fil du temps et des cycles d'assimilation de données. Pour ce travail seul des données in-situ ont été considérées. On suppose dans un deuxième temps que l'incertitude est portée par le débit en amont du réseau, qui est un vecteur temporel. On procède à une décomposition de type Karhunen-Loève pour réduire la taille de l'espace incertain aux trois premiers modes. Nous sommes ainsi en mesure de mener à bien un exercice d'assimilation de données. Pour finir, les conclusions et les perspectives de ce travail sont présentées en cinquième partie.

  • Titre traduit

    Polynomial chaos expansion in fluvial hydraulics in Ensemble data assimilation framework


  • Résumé

    This work deals with the formulation of a surrogate model for the shallow water equations in fluvial hydraulics with a chaos polynomial expansion. This reduced model is used instead of the direct model to reduce the computational cost of the ensemble methods in uncertainty quantification and data assimilation. The context of the study is the flood forecasting and the management of water resources. This manuscript is composed of five parts, each divided into chapters. The first part presents a state of art of uncertainty quantification and data assimilation in the field of hydraulics as well as the objectives of this thesis. We present the framework of flood forecasting, its stakes and the tools available (numerical and observation) to predict the dynamics of rivers. In particular, we present the SWOT2 mission, which aims to measure the height of water in rivers with global coverage at high resolution. We highlight particularty their contribution and their complementarity with the in-situ measurements. The second part presents the shallow water equations, which describe the flows in the rivers. We are particularly interested in a 1D representation of the equations.We formulate a numerical discretization of these equations, as implemented in the Mascaret software. The last chapter of this part proposes some simplifications of the shallow-water equations. The third part of this manuscript presents the uncertainty quantification and reduced order methods. We present particularly the probabilistic context which makes it possible to define well-defined problem of uncertainty quantification and sensitivity analysis. It is then proposed to reduce the size of a stochastic problem when dealing with random fields in the context of geophysical models. The methods of chaos polynomial expansion are then presented ; we present in particular the different strategies for the computation of the polynomial coefficients. This section devoted to methodology concludes with a chapter devoted to Ensemble based data assimilation (specially the Ensemble Kalman filter) and the use of surrogate models in this framework. The fourth part of this manuscript is dedicated to the results. The first step is to identify the sources of uncertainty in hydraulics that should be quantified and subsequently reduced. An article, in the review state, details the method and the validation of a polynomial surrogate model for shallow water equations in steady state when the uncertainty is mainly carried by the friction coefficients and upstream inflow. The study is conducted on the river Garonne. It is shown that the statistical moments, the probability density and the spatial covariance matrice for the water height are efficiently and precisely estimated using the reduced model whose construction requires only a few tens of integrations of the direct model. The use of the surrogate model is used to reduce the computational cost of the Ensemble Kalman filter in the context of a synthetic SWOT like data assimilation exercise. The aim is to reconstruct the spatialized friction coefficients and the upstream inflow. We are interested precisely in the spatial representation of the data as seen by SWOT : global coverage of the network, spatial averaging between the observed pixels. We show in particular that at the given calculation budget (2500 simulations of the direct model) the results of the data assimilation analysis based on the use of the polynomial surrogate model are better than those obtained with the classical Ensemble Kalman filter. We are then interested in the construction of the reduced model in unsteady conditions. It is assumed initially that the uncertainty is carried with the friction coefficients. It is now necessary to judge the need for the recalculation of polynomial coefficients over time and data assimilation cycles. For this work only ponctual and in-situ data were considered. It is assumed in a second step that the uncertainty is carried by the upstr


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