Coloration, ensemble indépendant et structure de graphe

par Lucas Pastor

Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique

Sous la direction de Frédéric Maffray et de Sylvain Gravier.

Le président du jury était Nicolas Trotignon.

Le jury était composé de Laurent Beaudou, Mickaël Montassier, Aline Parreau.

Les rapporteurs étaient Frédéric Havet, Dieter Rautenbach.


  • Résumé

    Cette thèse traite de la coloration de graphe, de la coloration par liste,d'ensembles indépendants de poids maximum et de la théorie structurelle des graphes.Dans un premier temps, nous fournissons un algorithme s'exécutant en temps polynomial pour le problème de la 4-coloration dans des sous-classes de graphe sans $P_6$. Ces algorithmes se basent sur une compréhension précise de la structure de ces classes de graphes, pour laquelle nous donnons une description complète.Deuxièmement, nous étudions une conjecture portant sur la coloration par liste et prouvons que pour tout graphe parfait sans griffe dont la taille de la plus grande clique est bornée par 4, le nombre chromatique est égal au nombre chromatique par liste. Ce résultat est obtenu en utilisant un théorème de décomposition des graphes parfaits sans griffe, une description structurelle des graphes de base de cette décomposition et le célèbre théorème de Galvin.Ensuite, en utilisant la description structurelle élaborée dans le premier chapitre et en renforçant certains aspects de celle-ci, nous fournissons un algorithme s'exécutant en temps polynomial pour le problème d'indépendant de poids maximum dans des sous-classes de graphe sans $P_6$ et sans $P_7$. Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, nous infirmons une conjecture datant de 1999 de De Simone et K"orner sur les graphes normaux. Notre preuve est probabiliste et est obtenue en utilisant les graphes aléatoires.

  • Titre traduit

    Coloring, stable set and structure of graphs


  • Résumé

    This thesis deals with graph coloring, list-coloring, maximum weightstable set (shortened as MWSS) and structural graph theory.First, we provide polynomial-time algorithms for the 4-coloring problem insubclasses of $P_6$-free graphs. These algorithms rely on a preciseunderstanding of the structure of these classes of graphs for which we give afull description.Secondly, we study the list-coloring conjecture and prove that for anyclaw-free perfect graph with clique number bounded by 4, the chromatic numberand the choice number are equal. This result is obtained by using adecomposition theorem for claw-free perfect graphs, a structural description ofthe basic graphs of this decomposition and by using Galvin's famous theorem.Next by using the structural description given in the first chapter andstrengthening other aspects of this structure, we provide polynomial-timealgorithms for the MWSS problem in subclasses of $P_6$-free and $P_7$-freegraphs.In the last chapter of the manuscript, we disprove a conjecture of De Simoneand K"orner made in 1999 related to normal graphs. Our proof is probabilisticand is obtained by the use of random graphs.


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