Dynamique de la turbulence partiellement 2D / partiellement 3D : une étude expérimentale et théorique dans le cadre MHD à bas-Rm

par Nathaniel T. Baker

Thèse de doctorat en Mécanique des fluides, ProcédéS, énergétiques

Sous la direction de Laurent Davoust et de Alban Pothérat.

Le président du jury était Joël Sommeria.

Le jury était composé de François Debray.

Les rapporteurs étaient Sven Eckert, Richard Hill.


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est de clarifier le rôle de la composante rotationnelle de la force de Lorentz dans sa capacité à imposer la topologie, et la dynamique des écoulements turbulents MHD à bas Rm, confinés par des parois rigides et électriquement isolantes. Le travail présenté ici se scinde en deux parties : D'une part une étude théorique effectuée dans un cadre faiblement inertiel, d'autre part une étude expérimentale d’écoulements turbulents pleinement développés. L’étude théorique porte sur un vortex isolé, stationnaire et axisymétrique, confiné entre deux parois rigides et électriquement isolantes, perpendiculaires à un champ magnétique uniforme. Grâce à un développement asymptotique des équations de Navier-Stokes, valable quel que soit le nombre de Hartmann, nous montrons que la dimensionnalité topologique de l’écoulement de base ne dépend que d'un seul paramètre. Ce paramètre en question compare en fait la distance sur laquelle la partie rotationnelle de la force de Lorentz est capable d'agir dans la direction du champ magnétique, avant d’être contrée par les effets visqueux. Cette étude met en lumière deux mécanismes inertiels capables d'engendrer une composante de la vitesse dans la direction du champ magnétique au premier ordre, en introduisant des recirculations dans le plan méridional : du pompage d'Ekman direct ou inverse. Un dispositif expérimental à également été construit durant ce projet, afin d’étudier la dynamique d’écoulements turbulents de métaux liquides soumis à des champs magnétiques intenses. La turbulence stationnaire engendrée par ce dispositif était forcée électriquement en imposant un courant continu à travers une matrice carrée et periodique d’électrodes d'injection. Grâce à ce dispositif, nous avons montré que les statistiques des fluctuations turbulentes étaient raisonnablement homogènes et axisymétriques, malgré un forçage inhomogène et anisotrope. Nous confirmons également, en comparant les densités d’énergie cinétique turbulentes mesurées le long des parois perpendiculaires au champ magnétique, que les processus physiques en jeu dans le domaine inertiel 3D de la turbulence MHD confinée à bas Rm sont bien la composante rotationnelle de la force de Lorentz d'une part, et les transferts inertiels d'autre part. Grâce à une étude statistique dans l'espace des échelles, nous montrons que la cinématique de la turbulence forcée dans notre expérience suit en fait une loi universelle qui ne dépend que de deux longueurs caractéristiques. Premièrement, l’échelle d'injection, dans la direction perpendiculaire au champ magnétique. Deuxièmement, le rayon d'action de la force de Lorentz avant d’être contrée par les effets inertiels, dans la direction parallèle au champ. Nous prouvons que le rapport entre cette dernière longueur caractéristique et la hauteur de l'enceinte expérimentale permet de différencier les structures turbulentes cinématiquement quasi-2D de celles qui sont cinématiquement 3D. En calculant directement le flux d’énergie cinétique turbulente perpendiculaire à travers les échelles horizontales, nous montrons que ce dernier est toujours dirigé vers les grandes échelles. Ce quel que soit la dimensionnalité des échelles en question. Autrement dit, une cascade inverse d’énergie perpendiculaire peut exister sans pour autant que les structures turbulentes associées soient quasi-2D.

  • Titre traduit

    The dynamics of partly 2D / partly 3D turbulence : an experimental and theoretical investigation in the low-Rm MHD framework


  • Résumé

    This thesis aims at clarifying the role of the solenoidal component of the Lorentz force in fixing the topological dimensionality, and the ensuing dynamics of low-Rm MHD turbulent flows confined between electrically insulating and no-slip Hartmann walls. The work presented here breaks down into two main parts: An analytical investigation carried out in the weakly inertial limit on the one hand, and an experimental study of fully developed turbulence on the other hand. The analytical investigation was performed on a single steady and axisymmetric electrically driven vortex confined between no-slip and electrically insulating walls perpendicular to a uniform magnetic field. Thanks to an asymptotic expansion valid for any Hartmann number, we showed that the topological dimensionality of the leading order is fully imposed by a single parameter, which compares the distance over which the Lorentz force is able to act in the direction of the magnetic field, before it is balanced out by viscous friction. This study highlights two inertial mechanisms capable of introducing a third velocity component in the direction of the field, by means of recirculations in the meridional plane: direct and/or inverse Ekman pumping. An experimental platform was designed and built from the ground up during this project, to investigate the dynamics of liquid metal turbulence subject to extreme magnetic fields. The turbulence sustained in our experiment was forced electrically by imposing a DC current through a square periodic array of electrodes. Thanks to this setup, we showed that the statistics of the turbulent fluctuations were homogeneous and axisymmetric to a satisfactory level, despite the forcing mechanism being inhomogeneous and anisotropic. By comparing the energy densities measured along the walls perpendicular to the magnetic field, we confirm that the physical processes at stake in the 3D inertial range of wall-bounded MHD turbulence at low-Rm are the solenoidal component of the Lorentz force on the one hand, and inertia on the other hand. Thanks to a statistical analysis in scale space, we show that their exists a universal law imposing the kinematics of turbulent structures in our experiment, which turns out to be fully described by only two lenghtscales. First, the forcing scale in the direction perpendicular to the magnetic field. Second, the range of action of the Lorentz force before it is balanced out by inertial transfers, in the direction parallel to the field. We prove that the ratio of this latter scale over the height of the channel in fact segregates kinematically quasi-2D from kinematically 3D turbulent structures. By computing the actual flux of perpendicular turbulent kinetic energy along perpendicular scales, we show that it always flows towards larger turbulent scales regardless of their topology. In other words, we show that the existence of an inverse cascade of perpendicular kinetic energy does not necessarily require perpendicular turbulent scales to be topologically quasi-2D in the inertial range.

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