Deux exemples d'algèbres de Hopf d'extraction-contraction : mots tassés et diagrammes de dissection

par Cécile Mammez

Thèse de doctorat en Mathématiques. Combinatoire algébrique

Sous la direction de Loïc Foissy.

Soutenue le 27-11-2017

à Littoral , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) (laboratoire) et de Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville / LMPA (laboratoire) .

Le président du jury était Frédéric Patras.

Le jury était composé de Loïc Foissy, Claudia Malvenuto, Dominique Manchon, Shalom Eliahou, Jean Fromentin, Jean-Christophe Novelli.

Les rapporteurs étaient Claudia Malvenuto, Dominique Manchon.


  • Résumé

    Ce manuscrit est consacré à l'étude de la combinatoire de deux algèbres de Hopf d'extraction-contraction. La première est l'algèbre de Hopf de mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa dont l'objectif était la construction d'un modèle de coproduit d'extraction-contraction pour les mots tassés. Nous expliquons certains sous-objets ou objets quotients ainsi que des applications vers d'autres algèbres de Hopf. Ainsi, nous considérons une algèbre de permutations dont le dual gradué possède un coproduit de déconcaténation par blocs et un produit de double battage décalé. Le double battage engendre la commutativité de l'algèbre qui est donc distincte de celle de Malvenuto et Reutenauer. Nous introduisons également une algèbre de Hopf engendrée par les mots tassés de la forme x₁...x₁. Elle est isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. Son dual gradé est donc isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques. Nous considérons également une algèbre de Hopf de compositions et donnons son interprétation en termes de coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Le deuxième objet d'étude est l'algèbre de Hopf de diagrammes de dissection HD introduite par Dupont en théorie des nombres. Nous cherchons des éléments de réponse concernant la nature de sa cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré 3 ne permet pas de conclure. Le cas du degré 5 permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de HD vaut - 1. Nous étudions également la structure pré-Lie du dual gradué HD. Nous réduisons le champ de recherche à la sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré 1. Cette algèbre pré-Lie n'est pas libre.

  • Titre traduit

    Two examples of Hopf algebras with a selection-quotient coprodut : packed words and dissection diagrams


  • Résumé

    This thesis deals with the study of combinatorics of two Hopf algebras. The first one is the packed words Hopf algebra WMAT introduced by Duchamp, Hoang-Nghia, and Tanasa who wanted to build a coalgebra model for packed words by using a selection-quotient process. We describe certain sub-objects or quotient objects as well as maps to other Hopf algebras. We consider first a Hopf algebra of permutations. Its graded dual has a block deconcatenation coproduct and double shuffle product. The double shuffle product is commutative so the Hopf algebra is different from the Malvenuto and Reutenauer one. We analyze then the Hopf algebra generated by packed words looking like x₁...x₁. This Hopf algebra and non commutative symmetric functions are isomorphic. So its graded dual and quasi-symmetric functions are isomorphic too. Finally we consider a Hopf algebra of compositions an give its interpretation in terms of a semi-direct coproduct structure. The second objet we study is the Hopf algebra of dissection diagrams HD introduced by Dupont in number theory. We study the cofreedom problem. We can't conclude with homogeneous primitive elements of degree 3. With the degree 5 case, we can say that is not cofree with the parameter -1. We study the pre-Lie algebra structure of HD's graded dual too. We consider in particular the sup-pre-Lie algebra generated by the dissection diagram of degree 1. It is not a free pre-Lie algebra.


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