Commutators, spectral analysis, and applications to discrete Schrödinger operators

par Marc Adrien Mandich

Thèse de doctorat en Mathematiques pures

Sous la direction de Sylvain Golenia.

Soutenue le 13-11-2017

à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (équipe de recherche) et de Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Marc Bouclet.

Le jury était composé de Mouez Dimassi, Thierry Jecko, Stanislas Kupin, El Maati Ouhabaz.

Les rapporteurs étaient Zied Ammari, Serge Richard.

  • Titre traduit

    Commutateurs, analyse spectrale et applications aux opérateurs de Schrödinger discrets


  • Résumé

    L’objet de cette thèse est l’étude spectrale et dynamique de systèmes de la mécanique quantique en utilisant des techniques de commutateurs. Deux parmi les trois articles présentés traitent l’opérateur de Schrödinger discret sur un réseau. Dans le premier article, un principe d’absorption limite est établi pour le Laplacien discret multidimensionnel perturbé par la somme d’un potentiel de type Wigner-von Neumann et d’un potentiel de type longue portée. Ce résultat implique notamment l’absolue continuité du spectre de cet Hamiltonien à certaines énergies. Dans le second article, nous considérons à nouveau l’opérateur de Schrödinger discret multidimensionnel dont le potentiel est de type longue portée. Il est démontré que les fonctions propres correspondant à des valeurs propres de l’Hamiltonien décroissent sous-exponentiellement lorsque ces dernières ne sont pas un seuil. En dimension un, il est démontré de surcroît que ces fonctions propres décroissent exponentiellement. Une conséquence de ceci est l’absence de valeurs propres dans la partie centrale du spectre délimité aux extrémités par des seuils. Le troisième article étudie des propriétés dynamiques d’Hamiltoniens vérifiant des hypothèses minimales dans la théorie des commutateurs. En se basant sur une estimation des vitesses minimales d’une part et une version améliorée du théorème du RAGE d’autre part, nous dérivons deux estimations de propagation pour cette famille d’Hamiltoniens. Ces estimations indiquent que les états du système se comportent dynamiquement de façon très similaire aux états de diffusion. Toutefois, ceci n’écarte pas la possibilité de spectre singulier continu.


  • Résumé

    This thesis deals with the analysis of spectral and dynamical properties of quantum mechanical systems using techniques of operator commutators. Two of the three research papers that are presented deal exclusively with the discrete Schrödinger operators on the lattice. The first article proves a limiting absorption principle for the multi-dimensional discrete Laplacian perturbed by the sum of a Wigner-von Neumann potential and long-range potential. This result notably implies the absolute continuity of the spectrum of this Hamiltonian at certain energies. The second article proves that eigenfunctions corresponding to non-threshold eigenvalues of multidimensional discrete Schrödinger operators decay sub-exponentially. In one dimension, it is further proven that these eigenfunctions decay exponentially. A consequence of this is the absence of eigenvalues when the middle portion of the spectrum does not contain any thresholds. The third article investigates dynamical properties of Hamiltonians under very minimal assumptions in the theory of commutators. Based on minimal escape velocities and an improved version of the RAGE Theorem, we derive propagation estimates for these types of Hamiltonians. These estimates indicate that the states of the system behave dynamically very much like scattering states. Nonetheless, the existence of singularly continuous states cannot be disproved.


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