Pavages de la droite réelle, du demi-plan hyperbolique et automorphismes du groupe libre

Tilings of the real line, hyperbolic plane and free group automorphisms

• Auteur / Autrice : Björn Monson
• Direction : François Gautero
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/07/2017
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Hervé Oyono-Oyono
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Gautero, Hervé Oyono-Oyono, Samuel Petite, Nicolas Bedaride, Indira Lara Chatterji, Pallavi Dani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samuel Petite, Michael Heusener

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes libres

Groupes d'automorphismes

Pavage (mathématiques)

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Pavages

Automorphismes de groupes libres

Dynamical system

Tilings

Free group automorphisms

Résumé

Dans cette thèse, nous construisons des pavages de la droite réelle et du demi-plan hyperbolique à l’aide de représentants efficaces d’automorphismes IWIP du groupe libre Fn. Dans un premier temps, nous utilisons la substitution définie par P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion associée à un représentant efficace d’un automorphisme IWIP pour générer des espaces de pavages substitutifs apériodiques de la droite réelle. Nous montrons, en nous servant d’un théorème de connexité des représentants efficaces d’automorphismes IWIP dû à J. Los, que le type topologique de ces espaces de pavages est indépendant du choix du représentant. Nous associons ainsi, à homéomorphisme près, un espace de pavages de la droite réelle à une classe d’automorphisme externe IWIP de Fn, puis à une classe de conjugaison d’un élément IWIP dans Out(Fn). D’autre part, nous construisons à partir des éléments de l’espace de pavage de la droite réelle précédemment construits des pavages faiblement apériodiques pour le groupe des transformations affines du demi-plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de ces espaces de pavages du plan hyperbolique. Enfin, dans une dernière partie, nous montrons que les espaces de pavages précédemment construits peuvent être munis d’une structure lisse en se servant de leur structure de limite projective.

In this thesis, we construct tilings of the real line and the hyperbolic half-plane using train-track maps of IWIP free group automorphisms. One the one hand, we use a substitution defined by P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion coming from a train-track map of a IWIP free group automorphism to generate substitutive aperiodic tilings of the real line. We show, thanks to a theorem of J. Los about connectivity of train-track representatives of an IWIP automorphism, that the topological type of those tiling spaces is the same up to a choice of train-track representative. Thus we associate, up to an homeomorphism, a tiling space of the real line to a class of an IWIP outer automorphism of Fn, then we extend this result to a conjugacy class of an IWIP element in Out(Fn). On the other hand, we construct from elements of tiling spaces of the real line previously defined, a set of weakly aperiodic for the affine group tilings of the hyperbolic half-plane. We study topological et dynamical properties of the tiling space generated by those hyperbolic tilings. Finally, in the last section we endow tiling spaces previously constructed with a smooth structure thanks to their inverse limit structure.