Differential calculus on h-deformed spaces

par Basile Herlemont

Thèse de doctorat en Physique Théorique et Mathématique

Sous la direction de Oleg Ogievetsky.

Le président du jury était Robert Coquereaux.

Les rapporteurs étaient Vladimir Roubtsov, Sergei Khoroshkin.

  • Titre traduit

    Calcul différentiel sur des espaces h-déformés


  • Résumé

    L'anneau Diff_{h}(n) des opérateurs différentiels h-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels h-déformés de type gl. Contrairement aux espaces vectoriels q-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique à isomorphisme près, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels h-déformés Diff_{h,σ}(n) est indexée par une fonction rationnelle σ en n variables, solution d'un système dégénéré d'équations aux différences finies. Nous obtenons la solution générale de ce système. Nous montrons que le centre de Diff_{h,σ}(n) est un anneau des polynômes en n variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau Diff_{h,σ}(n) et de l’algèbre de Weyl Wn étendue par n indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de Diff_{h,σ}(n). Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau Diff_{h}(n,N) correspondant à N copies de Diff_{h}(n).


  • Résumé

    The ring Diff_{h}(n) of h-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the h-deformed vector spaces of gl-type. In contrast to the q-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of h-deformed differential operators Diff_{h,σ}(n) is labeled by a rational function σ in n variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of Diff_{h,σ}(n) is a ring of polynomials in n variables. We construct an isomorphism between certain localizations of Diff_{h,σ}(n) and the Weyl algebra Wn extended by n indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional Diff_{h,σ}(n)-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring Diff_{h}(n,N) formed by several copies of Diff_{h}(n).


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