Comptage d'orbites périodiques dans le modèle de windtree

par Angel Pardo

Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique. Mathématiques

Sous la direction de Pascal Hubert.

Le président du jury était Marie-Claude Arnaud.

Le jury était composé de Erwan Lanneau, Nicolas Bedaride, Anton Zorich, Alejandro Maass, Carlos Matheus.

Les rapporteurs étaient Jayadev Athreya, Howard Masur.


  • Résumé

    Le problème du cercle de Gauss consiste à compter le nombre de points entiers de longueur bornée dans le plan. Autrement dit, compter le nombre de géodésiques fermées de longueur bornée sur un tore plat bidimensionnel. De très nombreux problèmes de comptage en systèmes dynamiques se sont inspirés de ce problème. Depuis 30 ans, on cherche à comprendre l’asymptotique de géodésiques fermées dans les surfaces de translation. H. Masur a montré que ce nombre a une croissance quadratique. Calculer l’asymptotique quadratique (constante de Siegel–Veech) est un sujet de recherches très actif aujourd’hui. L’objet d’étude de cette thèse est le modèle de windtree, un modèle de billard non compact. Dans le cas classique, on place des obstacles rectangulaires identiques dans le plan en chaque point entier. On joue au billard sur le complémentaire. Nous montrons que le nombre de trajectoires périodiques a une croissance asymptotique quadratique et calculons la constante de Siegel–Veech pour le windtree classique ainsi que pour la généralisation de Delecroix– Zorich. Nous prouvons que, pour le windtree classique, cette constante ne dépend pas des tailles des obstacles (phénomène “non varying” analogue aux résultats de Chen–Möller). Enfin, lorsque la surface de translation compacte sous-jacente est une surface de Veech, nous donnons une version quantitative du comptage.

  • Titre traduit

    Counting problem on wind-tree models


  • Résumé

    The Gauss circle problem consists in counting the number of integer points of bounded length in the plane. In other words, counting the number of closed geodesics of bounded length on a flat two dimensional torus. Many counting problems in dynamical systems have been inspired by this problem. For 30 years, the experts try to understand the asymptotic behavior of closed geodesics in translation surfaces. H. Masur proved that this number has quadratic growth rate. Compute the quadratic asymptotic (Siegel–Veech constant) is a very active research domain these days. The object of study in this thesis is the wind-tree model, a non-compact billiard model. In the classical setting, we place identical rectangular obstacles in the plane at each integer point. We play billiard on the complement. We show that the number of periodic trajectories has quadratic asymptotic growth rate and we compute the Siegel–Veech constant for the classical wind-tree model as well as for the Delecroix–Zorich variant. We prove that, for the classical wind-tree model, this constant does not depend on the dimensions of the obstacles (non-varying phenomenon, analogous to results of Chen–Möller). Finally, when the underlying compact translation surface is a Veech surface, we give a quantitative version of the counting.


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