Open periodic waveguides : Theory and computation

par Elizaveta Vasilevskaya

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Laurence Halpern et de Patrick Joly.

Soutenue le 07-07-2016

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Université Paris 13 (établissement de préparation) et de Laboratoire Analyse, géométrie et applications (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) (laboratoire) .

Le président du jury était Karim Ramdani.

Le jury était composé de Patrick Joly, Bérangère Delourme, Nicolas Popoff.

Les rapporteurs étaient Konstantin Pankrashkin, Olaf Post.

  • Titre traduit

    Guides d'ondes périodiques ouverts : Théorie et calcul


  • Résumé

    Cette thèse porte sur la propagation des ondes acoustiques dans des milieux périodiques.Ces milieux ont des propriétés remarquables car le spectre associée à l’opérateur d’ondesdans ces milieux a une structure de bandes : il existe des plages de fréquences danslesquelles les ondes monochromatiques ne se propagent pas. Plus intéressant encore, enintroduisant des défauts linéiques dans ce type de milieux, on peut créer des modes guidésà l’intérieur de ces bandes de fréquences interdites. Dans ce manuscrit nous montrons qu’ilest possible de créer de tels modes guidés dans le cas de milieux périodiques particuliersde type quadrillage : plus précisément, le domaine périodique considéré est constitué duplan R2 privé d’un ensemble infini d’obstacles rectangulaires régulièrement espacés (d’unedistance ") dans deux directions orthogonales du plan, que l’on perturbe localement endiminuant la distance entre deux colonnes d’obstacles. Les résultats sont ensuite étendusau cas 3D.Ce travail comporte un aspect théorique et un aspect numérique. Du point de vue théoriquel’analyse repose sur le fait que, comme " est petit, le spectre de l’opérateur associé ànotre problème est "proche" du spectre d’un problème posé sur le graphe obtenu commela limite géométrique du domaine quand " tend vers 0. Or, pour le graphe limite, il estpossible de calculer explicitement le spectre. Ensuite, en utilisant des méthodes d’analyseasymptotique on étudie le spectre de l’opérateur non-limite. On illustre les résultats théoriquespar des résultats numériques obtenus à l’aide d’une méthode numérique spécialementdédiée aux milieux périodiques : cette dernière est basée sur la réduction du problèmede valeurs propres initial (linéaire) posé dans un domaine non-borné à un problème nonlinéaireposé dans un domaine borné (en utilisant l’opérateur de Dirichlet-to-Neumannexact).


  • Résumé

    The present work deals with propagation of acoustic waves in periodic media. Thesemedia have particularly interesting properties since the spectrum associated with theunderlying wave operator in such media has a band-gap structure: there exist intervals offrequences for which monochromatic waves do not propagate. Moreover, by introducinglinear defects in this kind of media, one can create guided modes inside the bands offorbidden frequences. In this work we show that it is possible to create such guidedmodes in the case of particular periodic media of grid type: more precisely, the periodicdomain in question is R2 minus an infinite set of rectangular obstacles periodically spacedin two orthogonal directions (the distance between two neighbour obstacles being "),which is locally perturbed by diminishing the distance between two columns of obstacles.The results are extended to the 3D case.This work has a theoretical and a numerical aspect. From the theoretical point of view theanalysis is based on the fact that, " being small, the spectrum of the operator associatedwith our problem is "close" to the spectrum of a problem posed on a graph which is ageometric limit of the domain as " tends to 0. However, for the limit graph the spectrumcan be computed explicitly. Then, we study the spectrum of the non-limit operatorusing asymptotic analysis. Theoretical results are illustrated by numerical computationsobtained with a numerical method developed for study of periodic media: this method isbased on the reduction of the initial (linear) eigenvalue problem posed in an unboundeddomain to a non-linear problem posed in a bounded domain (using the exact Dirichletto-Neumann operator).


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