Structures de Poisson et coïsotropes en géométrie algébrique dérivée

Poisson and coisotropic structures in derived algebraic geometry

• Auteur / Autrice : Valerio Melani
• Direction : Grégory Ginot, Gabriele Vezzosi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité en cotutelle avec Università degli Studi di Firenze
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Grégory Ginot, Gabriele Vezzosi, Muriel Livernet, Benoit Fresse, Francesco Bottacin, Damien Calaque, Paolo Salvatore, Domenico Fiorenza
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Benoit Fresse, Dominic D. Joyce

Mots clés

Mots clés contrôlés

Poisson, Algèbres de

Quantification par déformation

Opérades

Géométrie symplectique

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique dérivée

Algèbre supérieure

Théorie des catégories supérieures

Derived algebraic geometry

Higher algebra

Higher category theory

Résumé

Dans cette thèse, on définit et on étudie les notions de structure de Poisson et coïsotrope sur un champ dérivé, dans le contexte de la géométrie algébrique dérivée. On considère deux présentations différentes de structure de Poisson : la première est purement algébrique, alors que la deuxième est plus géométrique. On montre que les deux approches sont en fait équivalentes. On introduit aussi la notion de structure coïsotrope sur un morphisme de champs dérivés, encore une fois en présentant deux définitions équivalentes : la première est basée sur une généralisation appropriée de l'opérade Swiss-Cheese de Voronov, tandis que la deuxième est formulée en termes de champs de multivecteurs rélatifs. En particulier, on montre que le morphisme identité admet une unique structure coïsotrope ; cela produit une application d'oubli des structures de Poisson n-décalées aux structures de Poisson (n-1)-décalées. On montre aussi que l'intersection de deux morphismes coïsotropes dans un champ de Poisson n-décalée est naturellement equipée d'une structure de Poisson (n-1)-décalée canonique. En outre, on fournit une équivalence entre l'espace de structures coïsotropes non-dégénérées et l'espace des structures Lagrangiennes en géométrie dérivée, introduites dans les travaux de Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi.

In this thesis, we define and study Poisson and coisotropic structures on derived stacks in the framework of derived algebraic geometry. We consider two possible presentations of Poisson structures of different flavour: the first one is purely algebraic, while the second is more geometric. We show that the two approaches are in fact equivalent. We also introduce the notion of coisotropic structure on a morphism between derived stacks, once again presenting two equivalent definitions: one of them involves an appropriate generalization of the Swiss Cheese operad of Voronov, while the other is expressed in terms of relative polyvector fields. In particular, we show that the identity morphism carries a unique coisotropic structure; in turn, this gives rise to a non-trivial forgetful map from n-shifted Poisson structures to (n-1)-shifted Poisson structures. We also prove that the intersection of two coisotropic morphisms inside a n-shifted Poisson stack is naturally equipped with a canonical (n-1)-shifted Poisson structure. Moreover, we provide an equivalence between the space of non-degenerate coisotropic structures and the space of Lagrangian structures in derived geometry, as introduced in the work of Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi.