Géométie analytique dérivée

• Auteur / Autrice : Mauro Porta
• Direction : Bruno Klingler, Gabriele Vezzosi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité en cotutelle avec Università degli Studi di Firenze
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : François Loeser
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marco Manetti, Bertrand Toën, Angelo Vistoli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jacob Lurie, Carlos Simpson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Espaces de Berkovich

Mots clés libres

GAGA dérivé

Théorème de réprésentabilité analytique

Théorème de Grauert

Théorie de la déformation analytique

Complexe cotangent analytique

Résumé

Dans cette thèse on extend ultérieurement les fondations de la géométrie analytique complexe proposées par J. Lurie dans DAG IX. En plus, on montre que ses idées peuvent être utilisées pour développer une théorie des espaces analytiques non-archimédiens dérivés. Les motivations arrivent de la théorie de Hodge nonabelienne et de la symétrie miroir. Les résultats principaux contiennent les généralisations du théorème de Grauert et des théorèmes GAGA pour les champs analytiques dérivés (et donc en particulier pour les orbifolds complexes et les analogues analytiques des champs d'Artin). On étudie en détail la théorie de la déformation analytique, et on développe le complexe cotangent analytique et ses propriétés de base. Finalement, on obtient une version analytique du théorème de représentabilité de Lurie. Pendant toute la thèse, on utilise le langage des infini catégorie.

In this thesis we extend further the foundations of derived C-analytic geometry proposed by J. Lurie in DAG IX. Moreover, we show that his ideas can be used to develop a theory of derived non-archimdean spaces. Motivations are coming from nonabelian Hodge theory and from mirror symmetry. Among the main results there are generalizations of Grauert theorem and GAGA theorems for derived analytic stacks (including C-analytic orbifolds and analytic analogues of Artin stacks). We extensively study analytic deformation theory, including the analytic cotangent complex and its basic properties. Finally, we obtain an analytic version of Lurie's representability theorem. We use the language of infinity categories throughout the whole thesis.