Geometrical aspects of positional representations of real and complex numbers

par Tomáš Hejda

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Edita Pelantová et de Wolfgang Steiner.

  • Titre traduit

    Aspects géométriques des représentations positionelles des nombres réels et complexes


  • Résumé

    Nous étudions trois aspects des systèmes de numération positionnels. Nous commmençons par l'étude des fractals de Rauzy de beta-développements symmétriques. Pour chaque unité de Pisot beta, les fractals de Rauzy forment un pavage multiple de l'hyperplan contractant. Nous considérons le cas 1<beta<2. Nous donnons une condition nécessaire pour que le pavage multiple soit un pavage. Sous cette condition, nous réduisons la question de pavage à une question de pavage pour des beta-développements d'un autre type. La deuxième partie concerne les nombres rationnels dont le développement de Rényi est purement périodique. Pour beaucoup de nombres de Pisot quadratiques il existe c>0 tel que le développement de Rényi de x est purement periodique pour tout 0<p/q<c avec p,q entier et q premier avec N(beta). Nous présentons un algorithme qui décide si un tel c existe ; dans ce cas, il calcule la valeur maximale de c. Quand beta+beta' est un multiple de beta. Beta', nous trouvons une condition nécessaire et suffisante pour que max c=1. La troisième partie est consacrée à l'etude des spectres de nombres complexes. Nous montrons que si l'alphabet est trop petit, c'est-à-dire, #A</gamma/^2, alors le spectre n'est pas relativement dense dans C. Pour une classe des unités cubique complexes de Pisot, nous présentons un algorithme qui calcule la distance minimale entre les point des spectres pour tous les alphabets A={0,1,. . . ,m}.


  • Résumé

    We study three geometrical aspects of positional numeration systems. First, we study Rauzy fractals associated to the symmetric beta-expansions. For arbitrary Pisot unit beta, the collection of the Rauzy fractals always forms a multiple tiling of the contracting hyperplane. We concentrate on the case 1<beta<2. We give a necessary condition on the coefficients of the minimal polynomial of beta, under which the collection forms a single tiling. When this necessary condition holds, we reduce the tiling problem to a tiling problem for the Rauzy fractals of another type of beta-expansions. In the second part, we consider the greedy beta-expansions for arbitrary quadratic Pisot number beta. We are interested in the study of rational numbers that have a purely periodic expansion. For many values of beta, there exists c>0 such that al rational numbers in [0,c) whose denominator is relatively prime to N(beta) have a purely periodic expansion. We give an algorithm that determinines whether such c>0 exists, and when it exists, this algorithm computes the maximum value of c with arbitrary precision. For cases when beta+beta' is an integer multiple of beta. Beta', we give a necessary and sufficient condition on max c=1. The third part is devoted to the study of complex spectra. We prove that when the alphabet is too small, namely when #A</gamma/^2, the spectrum is not relatively dense in C. For a class of cubic complex Pisot units, we give an algorithm that determines the shortest distance between points of the spectra for all alphabets of the form A={0,1,. . . ,m) at once.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (74 p.)
  • Annexes : 95 réf. Annexes

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  • Cote : TS (2016) 004
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