Quelques modèles mathématiques et algorithmes rapides pour le traitement d’images

par Rémy Abergel

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Lionel Moisan.

Soutenue le 04-10-2016

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris) , en partenariat avec Université Paris Descartes (1970-2019) (établissement de préparation) et de MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5 (laboratoire) .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons à différents modèles mathématiques de traitement d’images numériques dits de bas niveau. Si l’approche mathématique permet d’établir des modèles innovants pour traiter les images, ainsi que l´étude rigoureuse des propriétés des images qu’ils produisent, ils impliquent parfois l’utilisation d’algorithmes très consommateurs de temps de calcul et de mémoire. Aussi, nous portons un soin particulier au développement d’algorithmes rapides à partir des modèles mathématiques considérés. Nous commençons par effectuer une présentation synthétique des méthodes mathématiques basées sur la dualité de Legendre-Fenchel permettant la minimisation d’énergies faisant intervenir la variation totale, fonctionnelle convexe nondifférentiable, ceci afin d’effectuer divers traitements sur les images numériques. Nous étudions ensuite un modèle de discrétisation de la variation totale inspiré de la théorie de l’échantillonnage de Shannon. Ce modèle, appelé ≪ variation totale Shannon ≫ permet un contrôle fin de la régularité des images sur une échelle sous-pixellique. Contrairement aux modèles de discrétisation classiques qui font appel à des schémas aux différences finies, nous montrons que l’utilisation de la variation totale Shannon permet de produire des images pouvant être facilement interpolées. Nous montrons également que la variation totale Shannon permet un gain conséquent en matière d’isotropie et ouvre la porte à de nouveaux modèles mathématiques de restauration. Après cela, nous proposons une adaptation du modèle TV-ICE (Iterated Conditional Expectations, proposé en 2014 par Louchet et Moisan) au cas du débruitage d’images en présence de bruit de Poisson. Nous démontrons d’une part que le schéma numérique issu de ce modèle consiste en un schéma de point fixe dont la convergence est linéaire, d’autre part que les images ainsi produites ne présentent pas d’effet de marche d’escalier (staircasing), contrairement aux images obtenues avec l’approche plus classique dite du maximum a posteriori. Nous montrons également que le modèle Poisson TV-ICE ainsi établi repose sur l’évaluation numérique d’une fonction gamma incomplète généralisée nécessitant une prise en compte fine des erreurs numériques inhérentes au calcul en précision finie et pour laquelle nous proposons un algorithme rapide permettant d’atteindre une précision quasi-optimale pour une large gamme de paramètres. Enfin, nous reprenons les travaux effectués par Primet et Moisan en 2011 concernant l’algorithme astre (A contrario Smooth TRajectory Extraction) dédié à la détection de trajectoires régulières à partir d’une séquence de nuages de points, ces points étant considérés comme issus d’une détection préalable dans une 3 séquence d’images. Si l’algorithme astre permet d’effectuer une détection optimale des trajectoires régulières au sens d’un critère a contrario, sa complexité en O(K2) (où K désigne le nombre d’images de la séquence) s’avère être rédhibitoire pour les applications nécessitant le traitement de longues séquences. Nous proposons une variante de l’algorithme astre appelée cutastre qui préserve les performances de l’algorithme astre ainsi que certaines de ses propriétés théoriques, tout en présentant une complexité en O(K).

  • Titre traduit

    Several mathematical models and fast algorithms for image processing


  • Résumé

    In this thesis, we focus on several mathematical models dedicated to low-level digital image processing tasks. Mathematics can be used to design innovative models and to provide some rigorous studies of properties of the produced images. However, those models sometimes involve some intensive algorithms with high computational complexity. We take a special care in developing fast algorithms from the considered mathematical models. First, we give a concise description of some fundamental results of convex analysis based on Legendre-Fenchel duality. Those mathematical tools are particularly efficient to perform the minimization of convex and nonsmooth energies, such as those involving the total variation functional which is used in many image processing applications. Then, we focus on a Fourier-based discretization scheme of the total variation, called Shannon total variation, which provides a subpixellic control of the image regularity. In particular, we show that, contrary to the classically used discretization schemes of the total variation based on finite differences, the use of the Shannon total variation yields images that can be easily interpolated. We also show that this model provides some improvements in terms of isotropy and grid invariance, and propose a new restoration model which transforms an image into a very similar one that can be easily interpolated. Next, we propose an adaptation of the TV-ICE (Total Variation Iterated Conditional Expectations) model, recently proposed by Louchet and Moisan in 2014, to address the restoration of images corrupted by a Poisson noise. We derive an explicit form of the recursion operator involved by this scheme, and show linear convergence of the algorithm, as well as the absence of staircasing effect for the produced images. We also show that this variant involves the numerical evaluation of a generalized incomplete gamma function which must be carefully handled due to the numerical errors inherent to the finite precision floating-point calculus. Then, we propose an fast algorithm dedicated to the evaluation of this generalized 4 incomplete gamma function, and show that the accuracy achieved by the proposed procedure is near optimal for a large range of parameters. Lastly, we focus on the astre (A contrario Smooth TRajectory Extraction) algorithm, proposed by Primet and Moisan in 2011 to perform trajectory detection from a noisy point set sequence. We propose a variant of this algorithm, called cutastre, which manages to break the quadratic complexity of astre with respect to the number of frames of the sequence, while showing similar (and even slightly better) detection performances and preserving some interesting theoretical properties of the original astre algorithm.


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