Isolated eigenvalues of non Hermitian random matrices

par Jean Rochet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Florent Benaych-Georges.

Soutenue le 24-06-2016

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Université Paris Descartes (établissement de préparation) et de MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5 / MAP5 (laboratoire) .

Le président du jury était Jamal Najim.

Le jury était composé de Florent Benaych-Georges, Jamal Najim, Catherine Donati-Martin, Sean O'Rourke, Djalil Chafaï, Sandrine Péché.

Les rapporteurs étaient Catherine Donati-Martin, Sean O'Rourke.

  • Titre traduit

    Valeurs propres isolées des matrices aléatoires non Hermitiennes


  • Résumé

    Dans cette thèse, il est question de spiked models pour des matrices aléatoires nonhermitiennes. Plus précisément, on considère des matrices de type A+P, tel que le rang de P reste borné indépendamment de la taille de la matrice qui tend vers l’infini, et tel que A est une matrice aléatoire non-hermitienne. Tout d’abord, on prouve que dans le cas où la matrice P possède des valeurs propres hors du bulk, quelques valeurs propres de A+P (appelées outliers) apparaissent loin de celui-ci. Ensuite, on regarde les fluctuations des outliers de A autour de leurs limites et on montre que celles-ci ont la même distribution que les valeurs propres d’une certaine matrice aléatoire de taille finie. Ce genre de phénomène avait déjà été observé pour des modèles hermitiens. De manière inattendue, on montre que les vitesses de convergence des outliers varient (en fonction de la Réduite de Jordan de P) et que des corrélations peuvent apparaître entre des outliers situés à une distance macroscopique l’un de l’autre. Le premier modèle de matrices non-hermitiennes que l’on considère provient du théorème du Single Ring que l’on doit à Guionnet, Krishnapur et Zeitouni. Un autre modèle étudié est celui des matrices dites “presque” hermitiennes : c’est-à-dire lorsque A est hermitienne mais P ne l’est pas. Enfin, on regarde aussi les outliers pour des matrices Elliptiques Gaussiennes. Cette thèse traite aussi de la convergence en loi de variables aléatoires du type Tr( f (A)M) où A est une matrice du théorème du Single Ring et f est une fonction holomorphe sur un voisinage du bulk et la norme de Frobenius de M est de l’ordre de √N. En corollaire de ce résultat, on obtient des théorèmes type “Centrale Limite” pour les statistiques linéaires de A (pour des fonctions tests holomorphes) et des projections de rang finies de la matrice A (comme par exemple les entrées de la matrice).


  • Résumé

    This thesis is about spiked models of non Hermitian random matrices. More specifically, we consider matrices of the type A+P, where the rank of P stays bounded as the dimension goes to infinity and where the matrix A is a non Hermitian random matrix. We first prove that if P has some eigenvalues outside the bulk, then A+P has some eigenvalues (called outliers) away from the bulk. Then, we study the fluctuations of the outliers of A around their limit and prove that they are distributed as the eigenvalues of some finite dimensional random matrices. Such facts had already been noticed for Hermitian models. More surprising facts are that outliers can here have very various rates of convergence to their limits (depending on the Jordan Canonical Form of P) and that some correlations can appear between outliers at a macroscopic distance from each other. The first non Hermitian model studied comes from the Single Ring Theorem due to Guionnet, Krishnapur and Zeitouni. Then we investigated spiked models for nearly Hermitian random matrices : where A is Hermitian but P isn’t. At last, we studied the outliers of Gaussian Elliptic random matrices. This thesis also investigates the convergence in distribution of random variables of the type Tr( f (A)M) where A is a matrix from the Single Ring Theorem and f is analytic on a neighborhood of the bulk and the Frobenius norm of M has order √N. As corollaries, we obtain central limit theorems for linear spectral statistics of A (for analytic test functions) and for finite rank projections of f (A) (like matrix entries).


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