Propriétés spectrales de produits de matrices aléatoires non-hermitiennes à l'échelle mésoscopique

par Yuriy Nemish

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Mireille Capitaine et de Michel Ledoux.

Soutenue en 2016

à Toulouse 3 .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de produits de matrices aléatoires. Les origines de la théoriespectrale de matrices aléatoires remontent aux années 1920 où elle fut introduite par Wishart clans. Le contexte de la statistique multivariée. Ce domaine est par la suite devenu populaire dans les communautés mathématique et physique grâce aux travaux remarquables de Wigner, Dyson, Gaudin, Mehta etc. Jusqu'à présent, les matrices symétriques,largement utilisées dans divers domaines de la science moderne, constituaient l'un des principaux objets d'investigation,dans la théorie des matrices aléatoires. Néanmoins force est de constater un intérêt croissant pour l'étude des propriétés spectrales de matrices aléatoires non-herrnitiennes qui trouvent applications en analyse combinatoire, physique statistique,chromodynamlque quantique etc. Dans cette thèse nous considérons des produits de matrices aléatoires non-hermitiennes,et nous nous intéressons à leurs propriétés spectrales à l'échelle mésoscopique. Nous commençons la première partie de l'introduction par un bref aperçu historique du développement de la théorie des matrices aléatoires (RMT). Nous introduisons ensuite les modèles qui apparaissent plus tard dans cette thèse et lesproblèmes typiques en RMT. Puis nous décrivons les outils et méthodes utilisés pour étudier le comportement limite des valeurs propres de matrices aléatoires (méthode des moments, méthode de la résolvante; polynômes orthogonaux), et analysons l'approche qui serait la plus appropriée pour nos modèles. Nous présentons également un résultat récent de laloi locale pour les matrices aléatoires non-hermitiennes par Bourgade, Y au et Yin, qui est l'une des sources principalesd'inspiration pour notre étude, et décrivons la relation entre notre travail et d'autres résultats récents en RMT. Dans la deuxième partie, nous considérons le problème d'existence d"'outliers11 dans le spectre du produit de matricesaléatoires non-hermitiennes avec entrées indépendantes. Nous montrons que presque sûrement le rayon spectral convergevers 1, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'outliers à l'extérieur du support de la mesure spectrale empirique limite. Notrepreuve est basée sur l'approche développée par Bai et Silverstein, qui permet d'obtenir des informations sur les outliers enutilisant les propriétés de la transformée de Stieltjes de la mesure spectrale empirique. Après l'application de techniquesbien connues de linéarisation et hermitisation, la preuve est réduite à l'analyse de la matrice résolvante sur une régionparticulière du plan complexe, qui est effectuée selon la stratégie proposée par Bourgade, Y au et Yin. Dans la dernière partie, nous démontrons la loi locale pour les produits de matrices aléatoires non-hermitiennes; ceciconstitue le résultat le plus important obtenu dans cette thèse. Après linéarisation et hermitisation, nous utilisons' l'idéeélaborée dans une série d'articles par Erd6s et al. Que la rigidité des valeurs propres (et donc la loi locale) peut êtredéduite à partir des propriétés de la matrice résolvante. L'analyse de la résolvante nous amène à l'étude d'un systèmed'équations (self-consistent equations). La stabilité de ce système, établie dans cette thèse, implique la convergence dela transformée de Stieltjes sur une région où la partie imaginaire du paramètre résolvant est très petite. Cela garantitque la loi locale est valable jusqu'à l'échelle optimale

  • Titre traduit

    Spectral properties of products of non-Hermitian random matrices at mesoscopic scale


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of the eigenvalues of products of random matrices. The origins of the spectraltheory of random matrices date back to late 1920s, when it was introduced by Wishart in the context of multivariatestatistics. Later the field gained popularity in mathematical and physical communities after outstanding works ofWigner, Dyson, Gaudin, Mehta etc. Until now, one of the ce;ntral abjects of investigation in the random matrix theoryare symmetric matrices, that are used extensively in different areas of modern science. There is, however, a constantlygrowing interest in the study of the spectral properties of non-Hermitian matrices, that found their applications incombinatorics, statistical physics, quantum chromodynamics and other fields. In this thesis, we consider products ofnon-Hermitian random matrices, and we are interested in their spectral properties on the mesoscopic scale. We start the first introductory part by giving a brief historical overview of the development of the random matrixtheory (RMT). We then introduce the models that appear later in the work and the typical problems that are studiedby the RMT. We then spend sorne time describing the tools and methods that are used to study the limiting behaviourof the eigenvalues of random matrices (the moment method, resolvent method, orthogonal polynomials), and discussthe approach that would be the most suitable for our models. We also present a recent result about the local law fornon-Hermitian random matrices by Bourgade, Y au and Yin, which is one of thé main sources of inspiration for our study,and describe the relation between our work and sorne other recent results in the RMT. In the second part we consider the problem of outliers in the spectrum of the product of non-Hermitian randommatrices with independent entries. We show that for our madel almost surely the spectral radius converges to 1, whichmeans that there are no outliers outside the support of the limiting empirical spectral measure. Our proof is basedon the approach developed by Bai and Silverstein, that allows one to obtain information about the outliers from theproperties of the Stieltjes transform of the empirical spectral measure. After the well-known techniques of linearisationand hermitisation, the proof is reduced to the analysis of the resolvent matrix on a special region of the resolventparameter, which is carried out following the strategy of Bourgade, Y au and Yin. ~In the last part we prove the local law for the pi'oducts of non-Hermitian random matricesj which is the mostimportant result obtained in this thesis. After linearisation and hermitisation, we use the idea elaborated in a series ofpapers by Erd6s et al. That the rigidity of the eigenvalues (and thus the local law) cau be deduced from the propertiesof the resolvent matrix. The analysis of the resolvent leads to the study of a system of self-consistent. Equations. Thestability of this system, established in this thesis, implies the convergence of the 'Stieltjes transform on a region with avery small imaginary part of the resolvent parameter. This ensures that the local law holds up to the optimal scale.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (93 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 89-93

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  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2016 TOU3 0174
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