Fiabilité et optimisation des calculs obtenus par des formulations intégrales en propagation d'ondes

par Marc Bakry

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Patrick Ciarlet.

Le président du jury était Toufic Abboud.

Le jury était composé de Patrick Ciarlet, Francis Collino, Sébastien Pernet, Stéphanie Chaillat.

Les rapporteurs étaient Xavier Antoine, Benjamin Stamm.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on se propose de participer à la popularisation des méthodes de résolution de problèmes de propagation d'onde basées sur des formulations intégrales en fournissant des indicateurs d'erreur a posteriori utilisable dans le cadre d'algorithmes de raffinement autoadaptatif. Le développement de tels indicateurs est complexe du fait de la non-localité des normes associées aux espaces de Sobolev et des opérateurs entrant en jeu. Des indicateurs de la littérature sont étendus au cas de la propagation d'une onde acoustique. On étend les preuves de convergence quasi-optimale (de la littérature) des algorithmes autoadaptatifs associés dans ce cas. On propose alors une nouvelle approche par rapport à la littérature qui consiste à utiliser une technique de localisation des normes, non pas basée sur des inégalités inverses, mais sur l'utilisation d'un opérateur Λ de localisation bien choisi.On peut alors construire des indicateurs d'erreur a posteriori fiables, efficaces, locaux et asymptotiquement exacts par rapport à la norme de Galerkin de l'erreur. On donne ensuite une méthode pour la construction de tels indicateurs. Les applications numériques sur des géométries 2D et 3D confirment l'exactitude asymptotique ainsi que l'optimalité du guidage de l'algorithme autoadaptatif.On étend ensuite ces indicateurs au cas de la propagation d'une onde électromagnétique. Plus précisément, on s'intéresse au cas de l'EFIE. On propose des généralisations des indicateurs de la littérature. On effectue la preuve de convergence quasi-optimale dans le cas d'un indicateur basé sur une localisation de la norme du résidu. On utilise le principe du Λ pour obtenir le premier indicateur d'erreur fiable, efficace et local pour cette équation. On en propose une seconde forme qui est également, théoriquement asymptotiquement exacte.

  • Titre traduit

    Reliability and optimization of integral formulation based computations for wave propagation


  • Résumé

    The aim of this work is to participate to the popularization of methods for the resolution of wave propagation problems based on integral equations formulations by developping a posteriori error estimates in the context of autoadaptive mesh refinement strategies. The development of such estimates is difficult because of the non-locality of the norms associated to the Sobolev spaces and of the involved integral operators. Estimates from the literature are extended in the case of the propagation of an acoustic wave. The proofs of quasi-optimal convergence of the autoadaptive algorithms are established. We then introduce a new approach with respect to the literature which is based on a new norm-localization technique based on the use of a well-chosen Λ operator and not on inverse inequalities as it was the case previously.We then establish new a posteriori error estimates which are reliable, efficient, local and asymptotically exact with respect to the Galerkin norm of the error. We give a method for the construction of such estimates. Numerical applications on 2D and 3D geometries confirm the asymptotic exactness and the optimality of the autoadaptive algorithm.These estimates are extended in the case of the propagation of an electromagnetic wave. More precisely, we are interested in the EFIE. We suggest generalization of the estimates of the literature. A proof for quasi-optimal convergence is given for an estimate based on a localization of the norm of the residual. The principle of Λ is used to construct the first reliable, efficient, local error estimate for this equation. We give a second forme which is eventually theoretically asymptotically exact.


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