Problèmes d'interface en présence de métamatériaux : modélisation, analyse et simulations

par Valentin Vinoles

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Patrick Joly.

Soutenue le 08-09-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de Mathématiques Hadamard , en partenariat avec UMA - Unité de Mathématiques Appliquées (laboratoire) , École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) , Propagation des Ondes Étude Mathématique et Simulation (équipe de recherche) et de Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation (laboratoire) .

Le président du jury était Bruno Després.

Le jury était composé de Patrick Joly, Sonia Fliss, Guy Bouchitte, Julien Diaz, David Gerard varet, Marcus Grote.

Les rapporteurs étaient Chrysoula Tsogka.


  • Résumé

    Nous nous intéressons à des problèmes de transmission entre diélectriques et métamatériaux, milieux présentant des propriétés électromagnétiques inhabituelles comme des caractéristiques effectives négatives à certaines fréquences. Par exemple, ces milieux peuvent être construits comme des assemblages périodiques de microstructures résonantes et dans ce cas la théorie de l'homogénéisation permet de justifier mathématiquement ces propriétés effectives. En régime harmonique et dans des géométries à variables séparables, des calculs analytiques peuvent être menés. Ils révèlent dans des cas dits critiques des difficultés mathématiques: les solutions n'ont pas la régularité standard, voire le problème peut être mal posé.La première partie étudie ces problèmes de transmission en régime temporel pour lequel les métamatériaux sont modélisés par des modèles dispersifs (modèle de Drude ou de Lorentz). Les difficultés résident dans le choix d'un schéma de discrétisation mais surtout dans la construction de conditions absorbantes. La méthode retenue ici est celle des Perfectly Matched Layers (PMLs). Comme les PMLs classiques sont instables pour ces modèles du fait de la présence d'ondes inverses, nous proposons une nouvelle classe de PMLs pour lesquelles nous menons une analyse de stabilité. Cette dernière permet de construire des PMLs stables. Elles sont ensuite utilisées pour simuler le comportement en temps long d'un problème de transmission; nous illustrons alors le fait que le principe d'amplitude limite peut être mis en défaut en raison de résonances d'interface.La deuxième partie vise à pallier ces phénomènes d'interface en régime harmonique en revenant sur le processus d'homogénéisation classique, pour un milieu dissipatif. Pour des problèmes de transmission, il est connu que les modèles issus de cette méthode perdent en précision du fait de la présence de couches limites à l'interface. Nous proposons un modèle enrichi au niveau de l'interface. En combinant la méthode d'homogénéisation double-échelle et celle des développements asymptotiques raccordés, nous construisons des conditions de transmission non standards faisant intervenir des opérateurs différentiels le long de l'interface. Le calcul de ces conditions nécessite la résolution de problèmes de cellule et de problèmes non standards posés dans des bandes périodiques infinies. Une analyse d'erreur confirme l'amélioration de la précision du modèle. Des simulations numériques illustrent l'efficacité de ces nouvelles conditions. Enfin, cette démarche est reproduite formellement dans le cas des matériaux à fort contraste se comportant comme des métamatériaux. Nous montrons alors que ces nouvelles conditions permettent de régulariser le problème de transmission dans les cas critiques.

  • Titre traduit

    Interface problems with metamaterials : modelling, analysis and simulations


  • Résumé

    We are interested in transmission problems between dielectrics and metamaterials, that is to say media with unusual electromagnetic properties such as negative constants at some frequencies. These media are often made of periodic assemblies of resonant micro-structures and in this case the homogenization theory can justify mathematically these effective properties. A preliminary part deals with these problems in the harmonic domain and in geometry with separation of variables.Analytical computations are done and reveal in the so-called critical cases some mathematical diffculties: the solutions do not have the standard regularity and the problem can even be ill-posed.The first part examines these transmission problems in the time domain for which metamaterials are modelled by dispersive models (Drude model or Lorentz model for instance). The diffculties reside in the choice of a discretization scheme but especially in the construction of absorbing conditions. The method used here is the use of Perfectly Matched Layers (PMLs). Since classical PMLs are unstable for these models due to the presence of backward waves, we propose a new class of PMLs for which we conduct a stability analysis. The latter allows us to build stable PMLs. They are then used to simulate the long-time behaviour of a transmission problem; we illustrate the fact that the limit amplitude principle can be faulted because of interface resonances.The second part aims to overcome these phenomena by coming back to the classical homogenization in the harmonic domain, for dissipative media. For transmission problems, it is known that models resulting from this method lose accuracy due to the presence of boundary layers at the interface. We propose an enriched model at the interface: by combining the method of two-scale homogenization and that of matched asymptotic expansions, we build non-standard transmission conditions involving tangential derivatives along the interface (Laplace-Beltrami operators). This requires to solve cell problems and non-standardproblems in infinite periodic bands. An error analysis confirms the improvement of the accuracy of the model and numerical simulations show the effectiveness of these new conditions. Finally, this approach is formally reproduced in the case of high contrast materials which behave like metamaterials. We show that these new conditions regularise the transmission problem in the critical cases.


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