Reconstruction methods for inverse problems for Helmholtz-type equations

par Alexey Agaltsov

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Roman Novikov.

Soutenue le 06-12-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Centre de mathématiques appliquées-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique (laboratoire) .

Le président du jury était François Golse.

Le jury était composé de Roman Novikov, Otared Kavian, Dimitri Yafaev, Laurent Baratchart, Vincent Michel.

Les rapporteurs étaient Thorsten Hohage, Colin Guillarmou.

  • Titre traduit

    Méthodes de reconstruction pour des problèmes inverses pour des équations de type Helmholtz


  • Résumé

    La présente thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses pour l'équation de Helmholtz jauge-covariante, dont des cas particuliers comprennent l'équation de Schrödinger pour une particule élémentaire chargée dans un champ magnétique et l'équation d'onde harmonique en temps qui décrive des ondes acoustiques dans un fluide en écoulement. Ces problèmes ont comme motivation des applications dans des tomographies différentes, qui comprennent la tomographie acoustique, la tomographie qui utilise des particules élémentaires et la tomographie d'impédance électrique. En particulier, nous étudions des problèmes inverses motivés par des applications en tomographie acoustique de fluide en écoulement. Nous proposons des formules et équations qui permettent de réduire le problème de tomographie acoustique à un problème de diffusion inverse approprié. En suivant, nous développons un algorithme fonctionnel-analytique pour la résolution de ce problème de diffusion inverse. Cependant, en général, la solution de ce problème n'est unique qu'à une transformation de jauge appropriée près. À cet égard, nous établissons des formules qui permettent de se débarrasser de cette non-unicité de jauge et retrouver des paramètres du fluide, en mesurant des ondes acoustiques à des plusieurs fréquences. Nous présentons également des exemples des fluides qui ne sont pas distinguable dans le cadre de tomographie acoustique considérée. En suivant, nous considérons le problème de diffusion inverse sans information de phase. Ce problème est motivé par des applications en tomographie qui utilise des particules élémentaires, où seulement le module de l'amplitude de diffusion peut être mesuré facilement. Nous établissons des estimations dans l'espace de configuration pour les reconstructions sans phase de type Borne, qui sont requises pour le développement des méthodes de diffusion inverse précises. Finalement, nous considérons le problème de détermination d'une surface de Riemann dans le plan projectif à partir de son bord. Ce problème survient comme une partie du problème de Dirichlet-Neumann inverse pour l'équation de Laplace sur une surface inconnue, qui est motivé par des applications en tomographie d'impédance électrique.


  • Résumé

    This work is devoted to study of some inverse problems for the gauge-covariant Helmholtz equation, whose particular cases include the Schrödinger equation for a charged elementary particle in a magnetic field and the time-harmonic wave equation describing sound waves in a moving fluid. These problems are mainly motivated by applications in different tomographies, including acoustic tomography, tomography using elementary particles and electrical impedance tomography. In particular, we study inverse problems motivated by applications in acoustic tomography of moving fluid. We present formulas and equations which allow to reduce the acoustic tomography problem to an appropriate inverse scattering problem. Next, we develop a functional-analytic algorithm for solving this inverse scattering problem. However, in general, the solution to the latter problem is unique only up to an appropriate gauge transformation. In this connection, we give formulas and equations which allow to get rid of this gauge non-uniqueness and recover the fluid parameters, by measuring acoustic fields at several frequencies. We also present examples of fluids which are not distinguishable in this acoustic tomography setting. Next, we consider the inverse scattering problem without phase information. This problem is motivated by applications in tomography using elementary particles, where only the absolute value of the scattering amplitude can be measured relatively easily. We give estimates in the configuration space for the phaseless Born-type reconstructions, which are needed for the further development of precise inverse scattering algorithms. Finally, we consider the problem of determination of a Riemann surface in the complex projective plane from its boundary. This problem arises as a part of the inverse Dirichlet-to-Neumann problem for the Laplace equation on an unknown 2-dimensional surface, and is motivated by applications in electrical impedance tomography.


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