Functional representation of deformable surfaces for geometry processing

par Etienne Corman

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Antonin Chambolle.

Soutenue le 18-11-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale Approches interdisciplinaires : fondements, applications et innovation (Palaiseau, Essonne) , en partenariat avec Centre de mathématiques appliquées-CMAP [Palaiseau, Essonne] (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique / CMAP (laboratoire) .

Le président du jury était Tamy Boubekeur.

Le jury était composé de Antonin Chambolle, Quentin Mérigot, Leonidas Guibas, Boris Thibert, Maks Ovsjanikov.

Les rapporteurs étaient Quentin Mérigot, Michael M. Bronstein.

  • Titre traduit

    Représentation fonctionnelle des surfaces déformables pour l’analyse et la synthèse géométrique


  • Résumé

    La création et la compréhension des déformations de surfaces sont des thèmes récurrent pour le traitement de géométrie 3D. Comme les surfaces lisses peuvent être représentées de multiples façon allant du nuage ​​de points aux maillages polygonales, un enjeu important est de pouvoir comparer ou déformer des formes discrètes indépendamment de leur représentation. Une réponse possible est de choisir une représentation flexible des surfaces déformables qui peut facilement être transportées d'une structure de données à une autre.Dans ce but, les "functional map" proposent de représenter des applications entre les surfaces et, par extension, des déformations comme des opérateurs agissant sur des fonctions. Cette approche a été introduite récemment pour le traitement de modèle 3D, mais a été largement utilisé dans d'autres domaines tels que la géométrie différentielle, la théorie des opérateurs et les systèmes dynamiques, pour n'en citer que quelques-uns. Le principal avantage de ce point de vue est de détourner les problèmes encore non-résolus, tels que la correspondance forme et le transfert de déformations, vers l'analyse fonctionnelle dont l'étude et la discrétisation sont souvent mieux connues. Cette thèse approfondit l'analyse et fournit de nouvelles applications à ce cadre d'étude. Deux questions principales sont discutées.Premièrement, étant donné deux surfaces, nous analysons les déformations sous-jacentes. Une façon de procéder est de trouver des correspondances qui minimisent la distorsion globale. Pour compléter l'analyse, nous identifions les parties les moins fiables du difféomorphisme grâce une méthode d'apprentissage. Une fois repérés, les défauts peuvent être éliminés de façon différentiable à l'aide d'une représentation adéquate des champs de vecteurs tangents.Le deuxième développement concerne le problème inverse : étant donné une déformation représentée comme un opérateur, comment déformer une surface en conséquence ? Dans une première approche, nous analysons un encodage de la structure intrinsèque et extrinsèque d'une forme en tant qu'opérateur fonctionnel. Dans ce cadre, l'objet déformé peut être obtenu, à rotations et translations près, en résolvant une série de problèmes d'optimisation convexe. Deuxièmement, nous considérons une version linéarisée de la méthode précédente qui nous permet d'appréhender les champs de déformation comme agissant sur la métrique induite. En conséquence la résolution de problèmes difficiles, tel que le transfert de déformation, sont effectués à l'aide de simple systèmes linéaires d'équations.


  • Résumé

    Creating and understanding deformations of surfaces is a recurring theme in geometry processing. As smooth surfaces can be represented in many ways from point clouds to triangle meshes, one of the challenges is being able to compare or deform consistently discrete shapes independently of their representation. A possible answer is choosing a flexible representation of deformable surfaces that can easily be transported from one structure to another.Toward this goal, the functional map framework proposes to represent maps between surfaces and, to further extents, deformation of surfaces as operators acting on functions. This approach has been recently introduced in geometry processing but has been extensively used in other fields such as differential geometry, operator theory and dynamical systems, to name just a few. The major advantage of such point of view is to deflect challenging problems, such as shape matching and deformation transfer, toward functional analysis whose discretization has been well studied in various cases. This thesis investigates further analysis and novel applications in this framework. Two aspects of the functional representation framework are discussed.First, given two surfaces, we analyze the underlying deformation. One way to do so is by finding correspondences that minimize the global distortion. To complete the analysis we identify the least and most reliable parts of the mapping by a learning procedure. Once spotted, the flaws in the map can be repaired in a smooth way using a consistent representation of tangent vector fields.The second development concerns the reverse problem: given a deformation represented as an operator how to deform a surface accordingly? In a first approach, we analyse a coordinate-free encoding of the intrinsic and extrinsic structure of a surface as functional operator. In this framework a deformed shape can be recovered up to rigid motion by solving a set of convex optimization problems. Second, we consider a linearized version of the previous method enabling us to understand deformation fields as acting on the underlying metric. This allows us to solve challenging problems such as deformation transfer are solved using simple linear systems of equations.


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