Stability of solitons and multi-solitons for Landau-Lifschitz equation

par Yakine Bahri

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Philippe Gravejat.

Soutenue le 12-07-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) (laboratoire) , École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre de Mathématiques Laurent Schwartz / CMLS (laboratoire) .

Le président du jury était Hatem Zaag.

Le jury était composé de Philippe Gravejat, Raphaël Côte, Yvan Martel, Nader Masmoudi.

Les rapporteurs étaient Thomas Duyckaerts, Stephen J. Gustafson.

  • Titre traduit

    Stabilité des solitons et des multi-solitons pour l'équation de Landau-Lifschitz


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Landau-Lifshitz avec une anisotropie planaire en dimension un. Cette équation décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Elle admet des solutions particulières de type onde progressive appelées solitons.D'abord, nous montrons la stabilité asymptotique des solitons de vitesse non nulle appelés solitons sombres dans l'espace d'énergie. Plus précisément, nous prouvons que toute solution correspondant à une donnée initiale proche du soliton de vitesse non nulle, converge faiblement dans l'espace d'énergie en temps long, vers un soliton de vitesse non nulle, sous les invariances géométriques de l'équation. Notre analyse repose sur les idées développées par Martel et Merle pour les équations de Korteweg-de Vries généralisées. Nous utilisons la transformée de Madelung pour étudier le problème dans le cadre hydrodynamique. Nous invoquons ensuite la stabilité orbitale des solitons et la continuité faible du flot afin de construire le profil limite. Nous établissons de plus une formule de monotonie pour le moment, ce qui nous permet d'avoir la localisation du profil limite. Sa régularité et sa décroissance exponentielle découlent d'un résultat de régularité pour les solutions localisées des équations de Schrödinger. Nous finissons la preuve par un théorème de type Liouville, qui nous indique que seuls les solitons vérifient ces propriétés dans leurs voisinages.Nous nous intéressons également à la stabilité asymptotique d'une superposition de plusieurs solitons appelées multi-solitons. Les solitons de vitesse non nulle sont ordonnés selon leurs vitesses et sont initialement bien séparés. Nous démontrons la stabilité asymptotique autour et entre les solitons. Plus précisément, nous montrons que pour une donnée initiale proche de la somme de $N$ solitons sombres, la solution correspondante converge faiblement vers un des solitons de la somme, quand elle est translatée au niveau du centre de ce soliton, et converge faiblement vers zéro quand elle est translatée entre les solitons.


  • Résumé

    In this thesis, we study the one-dimensional Landau-Lifshitz equation with an easy-plane aniso-tropy. This equation describes the dynamics of the magnetization in a ferromagnetic material. It owns travelling-wave solutions called solitons.We begin by proving the asymptotic stability in the energy space of non-zero speed solitons More precisely, we show that any solution corresponding to an initial datum close to a soliton with non-zero speed, is weakly convergent in the energy space as time goes to infinity, to a soliton with a possible different non-zero speed, up to the geometric invariances of the equation. Our analysis relies on the ideas developed by Martel and Merle for the generalized Korteweg-de Vries equations. We use the Madelung transform to study the problem in the hydrodynamical framework. In this framework, we rely on the orbital stability of the solitons and the weak continuity of the flow in order to construct a limit profile. We next derive a monotonicity formula for the momentum, which gives the localization of the limit profile. Its smoothness and exponential decay then follow from a smoothing result for the localized solutions of the Schrödinger equations. Finally, we prove a Liouville type theorem, which shows that only the solitons enjoy these properties in their neighbourhoods.We also establish the asymptotic stability of multi-solitons. The solitons have non-zero speed, are ordered according to their speeds and have sufficiently separated initial positions. We provide the asymptotic stability around solitons and between solitons. More precisely, we show that for an initial datum close to a sum of $N$ dark solitons, the corresponding solution converges weakly to one of the solitons in the sum, when it is translated to the centre of this soliton, and converges weakly to zero when it is translated between solitons.


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