Transport optimal et équations des gaz sans pression avec contrainte de densité maximale

par Anthony Preux

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Bertrand Maury.

Soutenue le 21-11-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Université Paris-Sud (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était François Bouchut.

Le jury était composé de Bertrand Maury, François Bouchut, Didier Bresch, Michael Westdickenberg, Quentin Mérigot, Laurent Boudin.

Les rapporteurs étaient Didier Bresch, Michael Westdickenberg.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations des gaz sans pression avec contrainte de congestion qui soulèvent encore de nombreuses questions. La stratégie que nous proposons repose sur des précédents travaux sur le mouvement de foule dans le cadre de l'espace de Wasserstein, et sur un modèle granulaire avec des collisions inélastiques.Elle consiste en l'étude d'un schéma discrétisé en temps dont les suites doivent approcher les solutions de ces équations.Le schéma se présente de la manière suivante : à chaque pas de temps, le champ des vitesses est projeté sur un ensemble lui permettant d'éviter les croisements entre particules, la densité est ensuite déplacée selon le nouveau champ des vitesses, puis est projetée sur l'ensemble des densités admissibles (inférieures à une valeur seuil donnée).Enfin, le champ des vitesses est mis à jour en tenant compte du parcours effectué par les particules. En dimension 1, les solutions calculées par le schéma coïncident avec les solutions connues pour ce système. En dimension 2, les solutions calculées respectent les propriétés connues des solutions des équations de gaz sans pression avec contrainte de congestion. De plus, on retrouve des similarités entres ces solutions et celles du modèle granulaire microscopique dans des cas où elles sont comparables. Par la suite, la discrétisation en espace pose des problèmes et a nécessité l'élaboration d'un nouveau schéma de discrétisation du coût Wasserstein quadratique. Cette méthode que nous avons baptisée méthode du balayage transverse consiste à calculer le coût en utilisant les flux de masses provenant d'une certaine cellule et traversant les hyperplans définis par les interfaces entre les cellules.

  • Titre traduit

    Optimal transportation and pressureless Euler equations with maximal density constraint


  • Résumé

    In this thesis, we consider the pressureless Euler equations with a congestion constraint.This system still raises many open questions and aside from its one-dimensional version,very little is known. The strategy that we propose relies on previous works of crowd motion models withcongestion in the framework of the Wasserstein space, and on a microscopic granularmodel with inelastic collisions. It consists of the study of a time-splitting scheme. The first step is about the projection of the current velocity field on a set, avoiding the factthat trajectories do not cross during the time step. Then the scheme moves the density with the new velocity field. This intermediate density may violate the congestion constraint. The third step projects it on the set of admissible densities. Finally, the velocity field is updated taking into account the positions of physical particles during the scheme. In the one-dimensional case, solutions computed by the algorithm matchwith the ones that we know for these equations. In the two-dimensional case, computed solutions respect some properties that can be expected to be verified by the solutions to these equations. In addition, we notice some similarities between solutions computed by the scheme and the ones of the granular model with inelastic collisions. Later, this scheme is discretized with respect to the space variable in the purpose of numerical computations of solutions. The resulting algorithm uses a new method to discretize the Wasserstein cost. This method, called Transverse Sweeping Method consists in expressing the cost using the mass flow from any cell and crossing hyperplanes defined by interfaces between cells.


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