Sur le second théorème principal

par Dinh Tuan Huynh

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Julien Duval et de Joël Merker.

Soutenue le 28-09-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne) , en partenariat avec Université Paris-Sud (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de Mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était Mikhail Zaidenberg.

Le jury était composé de Julien Duval, Joël Merker, Mikhail Zaidenberg, Erwan Rousseau, Antoine Chambert-Loir, Sébastien Boucksom.

Les rapporteurs étaient Erwan Rousseau, Katsutoshi Yamanoi.


  • Résumé

    La conjecture de Kobayashi stipule qu'une hypersurface générique X dans CPn+1de degré d>= 2n+1 esthyperbolique complexe, un problème qui a attiré une grande attention récemment, avec l'espoir de mettre au point une théorie de Nevanlinna complète en dimension supérieure.Dans la première partie de cette thèse, notre objectif est de construire des exemples d'hypersurfaces hyperboliques de l'espace projectif dont le degré soit aussi petit que possible. Tout d'abord, en tenant compte du niveau de troncation dans le Second Théorème Principal de Cartan, nous établissons l'hyperbolicité de complémentaires de certaines configurations d'hyperplans avec points de passages, ce qui étend un résultat classique de Bloch-Fujimoto-Green. Ceci nous permet d'amorcer un algorithme récent de Duval, basé sur la méthode de déformation de Zaidenberg, pour créer des sextiques hyperboliques dans CP3, et de construire ainsi des familles d'hypersurfaces hyperboliques X dans CPn+1 de degré =2n+2 pour 2<=n<=5. En adaptant cette technique aux dimensions supérieures, nous obtenons aussi des exemples d'hypersurfaces hyperboliques de degré d>=((n+3)/2)^2 dans CPn+1.Dans la deuxième partie, nous étudions le problème de diminuer le niveau de troncation dans le Second Théorème Principal de Cartan. Noguchi a conjecturé que dans ce théorème, pour une famille de 4 droites en position générale dans CP2, si une courbe holomorphe entière f de C dans CP2 est supposée n'être pas algébriquement dégénérée, alors le niveau de troncation peut être abaissé à 1. En utilisation la théorie de recouvrement d'Ahlfors pour les surfaces, nous proposons une réponse positive dans le cas où la courbe f est proche d'une certaine courbe algébrique c dans CP2, au sens où l'ensemble d'accumulation de f(C) à l'infini, le cluster set de f est contenu dans c.

  • Titre traduit

    On the Second Main Theorem


  • Résumé

    Kobayashi's conjecture asserts that a generic hypersurface X in CPn+1 having degree d>= 2n+1 is complex hyperbolic, a problem that has attracted much attention recently, also with the hope of setting up a complete higher dimensional Nevanlinna theory.In the first part of this thesis, our goal is to construct examples of hyperbolic hypersurfaces in projective spaces of degree as low as possible. First of all, taking into account the truncation level in Cartan's Second Main Theorem, we establish the hyperbolicity of complements of some configurations of hyperplanes with passage points, extending a classical result of Bloch-Fujimoto-Green. This allows us to launch a recent algorithm of Duval, based on the deformation method of Zaidenberg, on creating hyperbolic sextics in CP3, hence to construct families of hyperbolic hypersurfaces X in CPn+1 having degree d=2n+2 for 2<= n<= 5. Adapting this technique to higher dimensional cases, we also obtain examples of hyperbolic hypersurfaces of degree d>=((n+3)/2)^2 in CPn+1.In the second part, we study the problem of decreasing the truncation level in Cartan's Second Main Theorem. It was conjectured by Noguchi that in this theorem, for a family of 4 lines in general position in CP2, if an entire holomorphic curve from C to CP2 is assumed to be algebraically nondegenerate, then the truncation level can be decreased to 1. Using Ahlfors'theory of covering surfaces, we propose a positive answer in the case where the curve f is close to some algebraic curve c in CP2, in the sense that the set of accumulation points of f(C) at infinity, the cluster set of f is contained in c.


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